Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

86 °C kavos puodelis paliekamas 22 °C kambaryje. Po 7 min temperatūra yra 50 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Raskite konstantą k min⁻¹.

T₀ = 86 °CT_a = 22 °CT(7) = 50 °C

k = min⁻¹

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Talpoje yra 400 L gryno vandens. Sūrymas, kurio litre yra 0,2 kg druskos, įteka 2 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Po kiek minučių t talpoje bus 56 kg druskos?

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀³ e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 3]

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities tarp parabolės y = 9 − x² ir x ašies plotą A.

y = 9 − x²

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(x), x radianais. Raskite f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ − 1,5x² − 6x − 1. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ − 1,5x² − 6x − 1

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Simpsono formule su n = 2 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀² sin(x²) dx. Pateikite S.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 2

S =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,1, kai y′ = t² + y², y(0) = 1, įvertinkite y₃ ≈ y(0,3).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,1

y₃ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: k = 0,1181 min⁻¹

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Temperatūrų skirtumų santykis

e^−7k = 28/64

Išspręskite k atžvilgiu

k = ln(64/28)/7 = 0,1181 min⁻¹

Atsakymas

k = 0,1181 min⁻¹

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: t = 240,8 min

Rezultatas

m(t) = 80 + (−80)·e^−t/200

Išspręskite t atžvilgiu

e^−t/200 = (80 − 56)/(80 − 0) = 0,3

t = 200·ln(3,333) = 240,8 min

Atsakymas

t = 240,8 min

3.Integralai

Atsakymas: I = 1,554

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Įstatykite rėžius

I = (e^−1,5 − 1)/(−0,5) = (0,2231 − 1)/(−0,5) = 1,554

Atsakymas

I = 1,554

4.Integralai

Atsakymas: A = 36

Nuliai

9 − x² = 0 → x = ±3

Integruokite

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Atsakymas

A = 36

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 0,077

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Įstatykite

f′(2) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Atsakymas

f′(2) = 0,077

6.Išvestinės

Atsakymas: x = 2

Išvestinė

f′(x) = 3x² − 3x − 6 = 3·(x² − x − 2)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −1 arba x = 2

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x − 3: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−1) = −9, f″(2) = 9

x = 2

Atsakymas

x = 2

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: S = 0,8697

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 1

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,841471 − 0,756802 = 2,609081

Simpsono formulė

S = (1/3)·2,609081 = 0,8697

Atsakymas

S = 0,8697

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₃ = 1,436

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Hoino žingsniai

y₁ = 1 + (0,1/2)(1 + 1,22) = 1,111

y₂ = 1,111 + (0,1/2)(1,244321 + 1,566292) = 1,251531

y₃ = 1,251531 + (0,1/2)(1,606329 + 2,084206) = 1,436057

Grafikas

y₃ = 1,436

Atsakymas

y₃ = 1,436

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations