Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

86 °C kavos puodelis paliekamas 23 °C kambaryje. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,06 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 30 min.

T₀ = 86 °CT_a = 23 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 30 min

T = °C

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite y′ + 3y = 10e^−t su y(0) = 2. Raskite y(0,5).

y′ + 3y = 10e^−ty(0) = 2

y(0.5) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₂⁸ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 8]

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities tarp parabolės y = 1 − x² ir x ašies plotą A.

y = 1 − x²

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = (−2x + 3)⁵. Raskite f′(0).

f(x) = (−2x + 3)⁵x = 0

f′(0) =

6.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = 3x² − x + 3 liestinė taške x = −2 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = 3x² − x + 3x = −2

b =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Simpsono formule su n = 2 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀¹ √x·e^−x dx. Pateikite S.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 1]n = 2

S =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Atlikite vieną klasikinio Rungės–Kutos metodo (RK4) žingsnį su h = 0,2, kai y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0. Raskite y₁ ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,2

y₁ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: T = 33,41 °C

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo dėsnio sprendinys

T(t) = 23 + 63·e^−0,06t

Įstatykite t

T(30) = 23 + 63·0,1653 = 33,41 °C

Atsakymas

T = 33,41 °C

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(0.5) = 2,363

Integruojantysis daugiklis

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 10e^2t

Bendrasis sprendinys

y = 10/2·e^−t + C·e^−3t = 5·e^−t + C·e^−3t

Pradinė sąlyga

2 = 5 + C → C = −3

Apskaičiuokite

y(0,5) = 5·0,6065 + (−3)·0,2231 = 2,363

Atsakymas

y(0,5) = 2,363

3.Integralai

Atsakymas: I = 4,159

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = 3·ln x

Įstatykite rėžius

I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4,159

Atsakymas

I = 4,159

4.Integralai

Atsakymas: A = 1,333

Nuliai

1 − x² = 0 → x = ±1

Integruokite

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Atsakymas

A = 1,333

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(0) = −810

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė

f′(x) = 5·(−2x + 3)⁴·(−2)

Įstatykite

f′(0) = 5·3⁴·(−2) = −810

Atsakymas

f′(0) = −810

6.Išvestinės

Atsakymas: b = −9

Taškas ir krypties koeficientas

f(−2) = 17

f′(x) = 6x − 1 → f′(−2) = −13

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 17 − (−13)·(−2) = −9

Atsakymas

b = −9

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: S = 0,3472

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,428882 + 0,367879 = 2,083407

Simpsono formulė

S = (0,5/3)·2,083407 = 0,3472

Atsakymas

S = 0,3472

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₁ = 0,2027

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Keturi nuolydžiai

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0,1, 0,1) = 1,01

k₃ = f(0,1, 0,101) = 1,0101

k₄ = f(0,2, 0,20202) = 1,040393

Sujunkite

y₁ = 0 + (0,2/6)(1 + 2·1,01 + 2·1,0101 + 1,040393) = 0,2027

Atsakymas

y₁ = 0,2027

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations