Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

81 °C kavos puodelis paliekamas 24 °C kambaryje. Po 28 min temperatūra yra 29 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kiek laiko nuo pradžios, t, reikia, kad temperatūra pasiektų 55 °C?

T₀ = 81 °CT_a = 24 °CT(28) = 29 °CT = 55 °C

t = min

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite y′ + 2y = 8e^−0,5t su y(0) = 3. Raskite y(1).

y′ + 2y = 8e^−0,5ty(0) = 3

y(1) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₁² 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 2]

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities tarp parabolės y = 4 − x² ir x ašies plotą A.

y = 4 − x²

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·e^2x. Raskite f′(0,5).

f(x) = x·e^2xx = 0,5

f′(0.5) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ + 3x² − 9x + 1. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ + 3x² − 9x + 1

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formule su n = 2 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀^1,5 1/(1 + x³) dx. Pateikite T.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 2

T =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Oilerio metodu su h = 0,25, kai y′ = e^−ty, y(0) = 0, įvertinkite y₄ ≈ y(1).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,25

y₄ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: t = 7,008 min

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo konstanta

k = ln(57/5)/28 = 0,08691 min⁻¹

Laikas iki tikslinės temperatūros

t = ln(57/31)/0,08691 = 7,008 min

Atsakymas

t = 7,008 min

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1) = 2,919

Integruojantysis daugiklis

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 8e^1,5t

Bendrasis sprendinys

y = 8/1,5·e^−0,5t + C·e^−2t = 5,333·e^−0,5t + C·e^−2t

Pradinė sąlyga

3 = 5,333 + C → C = −2,333

Apskaičiuokite

y(1) = 5,333·0,6065 + (−2,333)·0,1353 = 2,919

Atsakymas

y(1) = 2,919

3.Integralai

Atsakymas: I = 2,079

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = 3·ln x

Įstatykite rėžius

I = 3·(ln 2 − ln 1) = 3·ln 2 = 2,079

Atsakymas

I = 2,079

4.Integralai

Atsakymas: A = 10,67

Nuliai

4 − x² = 0 → x = ±2

Integruokite

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Atsakymas

A = 10,67

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(0.5) = 5,437

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos taisyklė

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

Įstatykite

f′(0,5) = 2,718·(1 + 1) = 5,437

Atsakymas

f′(0,5) = 5,437

6.Išvestinės

Atsakymas: x = 1

Išvestinė

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −3 arba x = 1

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x + 6: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = 1

Atsakymas

x = 1

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: T = 0,9882

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,75

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,703297 + 0,228571 = 2,635165

Trapecijų formulė

T = (0,75/2)·2,635165 = 0,9882

Atsakymas

T = 0,9882

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₄ = 0,831

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₁ = 0 + 0,25·(1) = 0,25

y₂ = 0,25 + 0,25·(0,939413) = 0,484853

y₃ = 0,484853 + 0,25·(0,784721) = 0,681034

y₄ = 0,681034 + 0,25·(0,60003) = 0,831041

Grafikas

y₄ = 0,831

Atsakymas

y₄ = 0,831

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations