Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

380 °C kalta plieno detalė paliekama aušti 30 °C dirbtuvėje. Po 19 min temperatūra yra 269 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Raskite konstantą k min⁻¹.

T₀ = 380 °CT_a = 30 °CT(19) = 269 °C

k = min⁻¹

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Talpoje yra 500 L gryno vandens. Sūrymas, kurio litre yra 0,2 kg druskos, įteka 2 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Po kiek minučių t talpoje bus 80 kg druskos?

V = 500 Lm₀ = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₂⁴ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 4]

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities, apribotos y = x² ir y = x, plotą A.

y = x²y = x

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = ln(2x² + 2). Raskite f′(−2).

f(x) = ln(2x² + 2)x = −2

f′(−2) =

6.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = 0,5x² − x − 6 liestinė taške x = −2 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = 0,5x² − x − 6x = −2

b =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formule su n = 4 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀¹ sin(x²) dx. Pateikite T.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 4

T =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,25, kai y′ = t² + y², y(0) = 1, įvertinkite y₂ ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,25

y₂ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: k = 0,02008 min⁻¹

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Temperatūrų skirtumų santykis

e^−19k = 239/350

Išspręskite k atžvilgiu

k = ln(350/239)/19 = 0,02008 min⁻¹

Atsakymas

k = 0,02008 min⁻¹

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: t = 402,4 min

Rezultatas

m(t) = 100 + (−100)·e^−t/250

Išspręskite t atžvilgiu

e^−t/250 = (100 − 80)/(100 − 0) = 0,2

t = 250·ln(5) = 402,4 min

Atsakymas

t = 402,4 min

3.Integralai

Atsakymas: I = 2,079

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = 3·ln x

Įstatykite rėžius

I = 3·(ln 4 − ln 2) = 3·ln 2 = 2,079

Atsakymas

I = 2,079

4.Integralai

Atsakymas: A = 0,1667

Susikirtimo taškai

x² = x → x = 0, x = 1

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [0,5x² − 0,3333x³]₀¹ = 0,1667

Atsakymas

A = 0,1667

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(−2) = −0,8

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

Įstatykite

f′(−2) = −8/10 = −0,8

Atsakymas

f′(−2) = −0,8

6.Išvestinės

Atsakymas: b = −8

Taškas ir krypties koeficientas

f(−2) = −2

f′(x) = x − 1 → f′(−2) = −3

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−3)·(−2) = −8

Atsakymas

b = −8

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: T = 0,316

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,0624593 + 2·0,247404 + 2·0,533303 + 0,841471 = 2,527803

Trapecijų formulė

T = (0,25/2)·2,527803 = 0,316

Atsakymas

T = 0,316

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₂ = 1,986

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Hoino žingsniai

y₁ = 1 + (0,25/2)(1 + 1,625) = 1,328125

y₂ = 1,328125 + (0,25/2)(1,826416 + 3,435258) = 1,985834

Grafikas

y₂ = 1,986

Atsakymas

y₂ = 1,986

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations