Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

480 °C kalta plieno detalė paliekama aušti 27 °C dirbtuvėje. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,05 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 17 min.

T₀ = 480 °CT_a = 27 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 17 min

T = °C

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite Koši uždavinį y′ + 2y/x = 4x², kai x > 0, su y(1) = 4. Raskite y(2).

y′ + 2y/x = 4x²y(1) = 4

y(2) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₁³ x·ln x dx.

∫₁³ x ln x dx

I =

4.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 2x ir parabolės y = 0,5x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 2xy = 0,5x²

V =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·e^0,5x. Raskite f′(2).

f(x) = x·e^0,5xx = 2

f′(2) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ − 12x − 1. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ − 12x − 1

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Simpsono formule su n = 6 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀³ √x·e^−x dx. Pateikite S.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 3]n = 6

S =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Oilerio metodu su h = 0,1, kai y′ = t − y, y(0) = −1, įvertinkite y₃ ≈ y(0,3).

y′ = t − yy(0) = −1h = 0,1

y₃ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: T = 220,6 °C

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo dėsnio sprendinys

T(t) = 27 + 453·e^−0,05t

Įstatykite t

T(17) = 27 + 453·0,4274 = 220,6 °C

Atsakymas

T = 220,6 °C

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 7,2

Integruojantysis daugiklis

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integruokite

(x²y)′ = 4x⁴ → x²y = 4x⁵/5 + C

Pradinė sąlyga

4 = 4/5 + C → C = 3,2

Apskaičiuokite

y(2) = (4·2⁵/5 + 3,2)/2² = 7,2

Atsakymas

y(2) = 7,2

3.Integralai

Atsakymas: I = 2,944

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Pirmykštė funkcija

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Ribos

(4,5·ln 3 − 2,25) − (0 − 0,25) = 2,944

Atsakymas

I = 2,944

4.Integralai

Atsakymas: V = 107,2

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

2x = 0,5x² → x = 0, x = 4

Žiedų metodas

V = π∫₀⁴ ((2x)² − (0,5x²)²) dx

Integruokite

V = π(4·4³/3 − 0,25·4⁵/5) = π·34,13 = 107,2

Atsakymas

V = 107,2

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 5,437

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos taisyklė

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

Įstatykite

f′(2) = 2,718·(1 + 1) = 5,437

Atsakymas

f′(2) = 5,437

6.Išvestinės

Atsakymas: x = −2

Išvestinė

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −2 arba x = 2

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = −2

Atsakymas

x = −2

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: S = 0,7554

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,428882 + 2·0,367879 + 4·0,273278 + 2·0,191393 + 4·0,129788 + 0,0862337 = 4,532568

Simpsono formulė

S = (0,5/3)·4,532568 = 0,7554

Atsakymas

S = 0,7554

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₃ = −0,7

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₁ = −1 + 0,1·(1) = −0,9

y₂ = −0,9 + 0,1·(1) = −0,8

y₃ = −0,8 + 0,1·(1) = −0,7

Grafikas

y₃ = −0,7

Atsakymas

y₃ = −0,7

Tiksli reikšmė yra y(0,3) = −0,7.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations