Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių
∫ab (f − g) dx

Metodas

  1. Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
  2. Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o ex, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
  3. Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
  4. Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė
(uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

  1. Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
  2. Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
  3. Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
  4. Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

  1. Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
  2. Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
  3. Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
  4. Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis
tyy(0) = 1y(1) = ?

Išspręskite y″ + 6y′ + 9y = 0, kai y(0) = 1 ir y′(0) = 0. Raskite y(1).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1) =
2.Diferencialinės lygtysSunkus
tyK = 2y(1) = ?

Sistema tenkina y″ + y′ + 9,25y = 18,5, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(1); kampai radianais.

y″ + y′ + 9,25y = 18,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
3.IntegralaiVidutinis
xy03

Apskaičiuokite I = ∫03 ex dx.

f(x) = ex[0, 3]
I =
4.IntegralaiSunkus
xy2y = 2xy = x²

Sritis tarp tiesės y = 2x ir parabolės y = x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 2xy = x²
V =
5.IšvestinėsVidutinis
xyx = 1,5

Tegu f(x) = x2·e2x. Raskite f′(1,5).

f(x) = x2·e2xx = 1,5
f′(1.5) =
6.IšvestinėsSunkus
xy

Tegu f(x) = x3 − 7,5x2 + 18x − 3. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x3 − 7,5x2 + 18x − 3
x =
7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formulė naudojama ∫12 1/x dx. Paklaida ne didesnė kaip (b − a)³·M/(12n²), kur M = max|f″| intervale [1, 2]. Raskite mažiausią juostų skaičių n, garantuojantį paklaidą, mažesnę nei 0,0005.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,0005
n =
8.Skaitiniai metodaiSunkus
00,511,500,51ty(0, 0)

Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,5, kai y′ = e−ty, y(0) = 0, įvertinkite y3 ≈ y(1,5).

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,5
y3 =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1) = 0,1991

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Dviguba šaknis

(r + 3)² = 0 → r = −3

Konstantos

A = y(0) = 1
y′(0) = B − 3A → B = 0 + 3 = 3

Apskaičiuokite

y(1) = (1 + 3·1)·e−3 = 0,1991

Atsakymas

y(1) = 0,1991
2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1) = 3,172

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

yss = 2, r = −0,5 ± 3j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −0,5A + 3B = 0 → B = −0,3333

Apskaičiuokite

y(1) = 2·(1 − e−0,5(cos 3 + 0,1667·sin 3)) = 3,172

Atsakymas

y(1) = 3,172
3.Integralai

Atsakymas: I = 19,09

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = ex/1

Įstatykite rėžius

I = (e3 − 1)/1 = (20,09 − 1)/1 = 19,09

Atsakymas

I = 19,09
4.Integralai

Atsakymas: V = 13,4

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

2x = 1x² → x = 0, x = 2

Žiedų metodas

V = π∫₀2 ((2x)² − (1x²)²) dx

Integruokite

V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4,267 = 13,4

Atsakymas

V = 13,4
5.Išvestinės

Atsakymas: f′(1.5) = 150,6

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos taisyklė

f′(x) = u′v + uv′ = e2x·(2x + 2·x2)

Įstatykite

f′(1,5) = 20,09·(3 + 4,5) = 150,6

Atsakymas

f′(1,5) = 150,6
6.Išvestinės

Atsakymas: x = 2

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Išvestinė

f′(x) = 3x2 − 15x + 18 = 3·(x2 − 5x + 6)

Išspręskite f′(x) = 0

x = 2 arba x = 3

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x − 15: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(2) = −3, f″(3) = 3
x = 2

Atsakymas

x = 2
7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: n = 19

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Antros išvestinės įvertis

M = 2/1³ = 2

Išreikškite n

n² > 1·2/(12·0,0005) = 333,3
n > 18,26 → n = 19

Atsakymas

n = 19
8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y3 = 0,9269

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁00010,7788010,444710,50,44470,8006350,429550,752246210,7522460,4713070,2272170,926877

Hoino žingsniai

y₁ = 0 + (0,5/2)(1 + 0,778801) = 0,4447
y₂ = 0,4447 + (0,5/2)(0,800635 + 0,42955) = 0,752246
y₃ = 0,752246 + (0,5/2)(0,471307 + 0,227217) = 0,926877
00,511,500,51ty

Grafikas

y3 = 0,9269

Atsakymas

y3 = 0,9269

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations