Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

5 °C gaiviojo gėrimo skardinė išimama iš šaldytuvo į 27 °C kambarį. Po 19 min temperatūra yra 21 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kiek laiko nuo pradžios, t, reikia, kad temperatūra pasiektų 10 °C?

T₀ = 5 °CT_a = 27 °CT(19) = 21 °CT = 10 °C

t = min

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite y″ + 4y′ + 13y = 0, kai y(0) = 3 ir y′(0) = 0 (paleista iš rimties). Raskite y(0,25); kampai radianais.

y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.25) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities, apribotos y = 2x² ir y = 3x, plotą A.

y = 2x²y = 3x

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x²·e^−x. Raskite f′(0,5).

f(x) = x²·e^−xx = 0,5

f′(0.5) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ − 3x + 5. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ − 3x + 5

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Transporto priemonės greitis matuojamas kas 10 s (lentelė). Simpsono formule įvertinkite nueitą kelią s nuo t = 0 iki t = 60 s.

h = 10 sn = 6

s = m

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Oilerio metodu su h = 0,5, kai y′ = cos t − y, y(0) = −1, įvertinkite y₅ ≈ y(2,5).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,5

y₅ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: t = 3,77 min

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo konstanta

k = ln(-22/-6)/19 = 0,06838 min⁻¹

Laikas iki tikslinės temperatūros

t = ln(-22/(−17))/0,06838 = 3,77 min

Atsakymas

t = 3,77 min

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(0.25) = 2,158

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Kompleksinės šaknys

r = −2 ± 3j

Konstantos

A = 3, B = 2·3/3 = 2

Apskaičiuokite

y(0,25) = e^−0,5(3·cos 0,75 + 2·sin 0,75) = 2,158

Atsakymas

y(0,25) = 2,158

3.Integralai

Atsakymas: I = 156

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Keitinys

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Integruokite ir įstatykite rėžius

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Atsakymas

I = 156

4.Integralai

Atsakymas: A = 1,125

Susikirtimo taškai

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Atsakymas

A = 1,125

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(0.5) = 0,4549

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos taisyklė

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(2x + (−1)·x²)

Įstatykite

f′(0,5) = 0,6065·(1 + (−0,25)) = 0,4549

Atsakymas

f′(0,5) = 0,4549

6.Išvestinės

Atsakymas: x = −1

Išvestinė

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −1 arba x = 1

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = −1

Atsakymas

x = −1

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: s = 1250 m

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Svertinė suma

10 + 4·12 + 2·17 + 4·23 + 2·23 + 4·29 + 29 = 375

Simpsono formulė

s = (10/3)·375 = 1250 m

Atsakymas

s = 1250 m

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₅ = −0,068

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₁ = −1 + 0,5·(2) = 0

y₂ = 0 + 0,5·(0,877583) = 0,438791

y₃ = 0,438791 + 0,5·(0,101511) = 0,489547

y₄ = 0,489547 + 0,5·(−0,41881) = 0,280142

y₅ = 0,280142 + 0,5·(−0,696289) = −0,0680024

Grafikas

y₅ = −0,068

Atsakymas

y₅ = −0,068

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations