Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 7y′ + 12y = 0, kai y(0) = 4 ir y′(0) = 0. Raskite y(2).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = 0

y(2) =

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Sistema tenkina y″ + 4y′ + 13y = 130, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(1,5); kampai radianais.

y″ + 4y′ + 13y = 130y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀³ e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 3]

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities, apribotos y = 0,5x² ir y = x, plotą A.

y = 0,5x²y = x

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = ln(x² + 2). Raskite f′(−1).

f(x) = ln(x² + 2)x = −1

f′(−1) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ − 13,5x² + 54x − 2. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ − 13,5x² + 54x − 2

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formulė naudojama ∫₁³ 1/x dx. Paklaida ne didesnė kaip (b − a)³·M/(12n²), kur M = max|f″| intervale [1, 3]. Raskite mažiausią juostų skaičių n, garantuojantį paklaidą, mažesnę nei 0,0005.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,0005

n =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,25, kai y′ = cos t − y, y(0) = 1, įvertinkite y₃ ≈ y(0,75).

y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0,25

y₃ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 0,03563

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteristinės šaknys

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Konstantos pagal pradines vertes

A + B = 4, −3A − 4B = 0

A = 16, B = −12

Apskaičiuokite

y(2) = 16·e⁻⁶ + (−12)·e⁻⁸ = 0,03563

Atsakymas

y(2) = 0,03563

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1.5) = 10,43

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

y_ss = 10, r = −2 ± 3j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −6,667

Apskaičiuokite

y(1,5) = 10·(1 − e⁻³(cos 4,5 + 0,6667·sin 4,5)) = 10,43

Atsakymas

y(1,5) = 10,43

3.Integralai

Atsakymas: I = 1,554

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Įstatykite rėžius

I = (e^−1,5 − 1)/(−0,5) = (0,2231 − 1)/(−0,5) = 1,554

Atsakymas

I = 1,554

4.Integralai

Atsakymas: A = 0,6667

Susikirtimo taškai

0,5x² = x → x = 0, x = 2

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [0,5x² − 0,1667x³]₀² = 0,6667

Atsakymas

A = 0,6667

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(−1) = −0,6667

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 2x/(x² + 2)

Įstatykite

f′(−1) = −2/3 = −0,6667

Atsakymas

f′(−1) = −0,6667

6.Išvestinės

Atsakymas: x = 3

Išvestinė

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

Išspręskite f′(x) = 0

x = 3 arba x = 6

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x − 27: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 3

Atsakymas

x = 3

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: n = 52

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Antros išvestinės įvertis

M = 2/1³ = 2

Išreikškite n

n² > 8·2/(12·0,0005) = 2667

n > 51,64 → n = 52

Atsakymas

n = 52

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₃ = 0,9384

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Hoino žingsniai

y₁ = 1 + (0,25/2)(0 − 0,0310876) = 0,996114

y₂ = 0,996114 + (0,25/2)(−0,0272016 − 0,111731) = 0,978747

y₃ = 0,978747 + (0,25/2)(−0,101165 − 0,221767) = 0,938381

Grafikas

y₃ = 0,9384

Atsakymas

y₃ = 0,9384

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations