Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

3 °C gaiviojo gėrimo skardinė išimama iš šaldytuvo į 25 °C kambarį. Po 17 min temperatūra yra 12 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kiek laiko nuo pradžios, t, reikia, kad temperatūra pasiektų 19 °C?

T₀ = 3 °CT_a = 25 °CT(17) = 12 °CT = 19 °C

t = min

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Talpoje yra 1000 L vandens, kuriame ištirpinta 5 kg druskos. Sūrymas, kurio litre yra 0,1 kg druskos, įteka 2 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Kiek druskos m bus talpoje po 45 min?

V = 1000 Lm₀ = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

4.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 3x ir parabolės y = 3x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 3xy = 3x²

V =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(x), x radianais. Raskite f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ − 3x + 3. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ − 3x + 3

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formule su n = 2 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀² e^−x² dx. Pateikite T.

f(x) = e^−x²[a, b] = [0, 2]n = 2

T =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,2, kai y′ = cos t − y, y(0) = −1, įvertinkite y₃ ≈ y(0,6).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,2

y₃ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: t = 41,98 min

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo konstanta

k = ln(-22/-13)/17 = 0,03095 min⁻¹

Laikas iki tikslinės temperatūros

t = ln(-22/(−6))/0,03095 = 41,98 min

Atsakymas

t = 41,98 min

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: m = 13,18 kg

Sudarykite lygtį

dm/dt = 2·0,1 − (2/1000)·m = 0,2 − 0,002·m

Išspręskite

Integruojantysis daugiklis yra e^rt/V; sprendinys artėja prie pusiausvyrinės reikšmės c·V.

m(t) = 100 + (−95)·e^−t/500

Įstatykite t

m(45) = 100 + (−95)·0,9139 = 13,18 kg

Atsakymas

m = 13,18 kg

3.Integralai

Atsakymas: I = 156

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Keitinys

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Integruokite ir įstatykite rėžius

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Atsakymas

I = 156

4.Integralai

Atsakymas: V = 3,77

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

3x = 3x² → x = 0, x = 1

Žiedų metodas

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

Integruokite

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1,2 = 3,77

Atsakymas

V = 3,77

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(1) = 1,382

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Įstatykite

f′(1) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Atsakymas

f′(1) = 1,382

6.Išvestinės

Atsakymas: x = 1

Išvestinė

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −1 arba x = 1

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = 1

Atsakymas

x = 1

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: T = 0,877

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 1

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,367879 + 0,0183156 = 1,754075

Trapecijų formulė

T = (1/2)·1,754075 = 0,877

Atsakymas

T = 0,877

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₃ = −0,1356

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Hoino žingsniai

y₁ = −1 + (0,2/2)(2 + 1,580067) = −0,641993

y₂ = −0,641993 + (0,2/2)(1,62206 + 1,238642) = −0,355923

y₃ = −0,355923 + (0,2/2)(1,276984 + 0,925862) = −0,135639

Grafikas

y₃ = −0,1356

Atsakymas

y₃ = −0,1356

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations