Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

91 °C kavos puodelis paliekamas 18 °C kambaryje. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,03 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 20 min.

T₀ = 91 °CT_a = 18 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 20 min

T = °C

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite Koši uždavinį y′ + y/x = 5, kai x > 0, su y(1) = 0. Raskite y(3).

y′ + y/x = 5y(1) = 0

y(3) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₂⁸ 2/x dx.

f(x) = 2/x[2, 8]

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities tarp parabolės y = 1 − x² ir x ašies plotą A.

y = 1 − x²

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = (3x − 1)³. Raskite f′(−1).

f(x) = (3x − 1)³x = −1

f′(−1) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ + 1,5x² + 5. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ + 1,5x² + 5

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formule, kai n = 2, apytiksliai apskaičiuokite ∫₁⁴ 1/x dx ir palyginkite su tikslia reikšme. Raskite absoliučiąją paklaidą |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2

|E| =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,5, kai y′ = −0,5y, y(0) = 1, įvertinkite y₂ ≈ y(1).

y′ = −0,5yy(0) = 1h = 0,5

y₂ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: T = 58,06 °C

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo dėsnio sprendinys

T(t) = 18 + 73·e^−0,03t

Įstatykite t

T(20) = 18 + 73·0,5488 = 58,06 °C

Atsakymas

T = 58,06 °C

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(3) = 6,667

Integruojantysis daugiklis

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integruokite

(x¹y)′ = 5x → x¹y = 5x²/2 + C

Pradinė sąlyga

0 = 5/2 + C → C = −2,5

Apskaičiuokite

y(3) = (5·3²/2 + (−2,5))/3¹ = 6,667

Atsakymas

y(3) = 6,667

3.Integralai

Atsakymas: I = 2,773

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = 2·ln x

Įstatykite rėžius

I = 2·(ln 8 − ln 2) = 2·ln 4 = 2,773

Atsakymas

I = 2,773

4.Integralai

Atsakymas: A = 1,333

Nuliai

1 − x² = 0 → x = ±1

Integruokite

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Atsakymas

A = 1,333

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(−1) = 144

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė

f′(x) = 3·(3x − 1)²·3

Įstatykite

f′(−1) = 3·(−4)²·3 = 144

Atsakymas

f′(−1) = 144

6.Išvestinės

Atsakymas: x = −1

Išvestinė

f′(x) = 3x² + 3x = 3·(x² + x)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −1 arba x = 0

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x + 3: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−1) = −3, f″(0) = 3

x = −1

Atsakymas

x = −1

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: |E| = 0,1512

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Tiksli reikšmė

I = 1,386294

Trapecijų formulė

T = (1,5/2)·(1 + 2·0,4 + 0,25) = 1,5375

Paklaida

|E| = |1,5375 − 1,386294| = 0,1512

Atsakymas

|E| = 0,1512

Santykinė paklaida: 10,91 %.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₂ = 0,6104

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Hoino žingsniai

y₁ = 1 + (0,5/2)(−0,5 − 0,375) = 0,78125

y₂ = 0,78125 + (0,5/2)(−0,390625 − 0,292969) = 0,610352

Grafikas

y₂ = 0,6104

Atsakymas

y₂ = 0,6104

Tiksli reikšmė yra y(1) = 0,606531.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations