Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 6y′ + 9y = 0, kai y(0) = 5 ir y′(0) = 2. Raskite y(1).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 2

y(1) =

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Sistema tenkina y″ + y′ + 25,25y = 25,25, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(1,5); kampai radianais.

y″ + y′ + 25,25y = 25,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

4.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 4x ir parabolės y = 2x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 4xy = 2x²

V =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(x), x radianais. Raskite f′(1,5).

f(x) = x·sin(x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

6.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = 3x² − 2x + 4 liestinė taške x = 1 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = 3x² − 2x + 4x = 1

b =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formule, kai n = 4, apytiksliai apskaičiuokite ∫₀¹ eˣ dx ir palyginkite su tikslia reikšme. Raskite absoliučiąją paklaidą |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 4

|E| =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,2, kai y′ = −0,5y, y(0) = 0,5, įvertinkite y₂ ≈ y(0,4).

y′ = −0,5yy(0) = 0,5h = 0,2

y₂ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1) = 1,095

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Dviguba šaknis

(r + 3)² = 0 → r = −3

Konstantos

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 3A → B = 2 + 15 = 17

Apskaičiuokite

y(1) = (5 + 17·1)·e⁻³ = 1,095

Atsakymas

y(1) = 1,095

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1.5) = 0,792

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

y_ss = 1, r = −0,5 ± 5j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −0,5A + 5B = 0 → B = −0,1

Apskaičiuokite

y(1,5) = 1·(1 − e^−0,75(cos 7,5 + 0,1·sin 7,5)) = 0,792

Atsakymas

y(1,5) = 0,792

3.Integralai

Atsakymas: I = 2,333

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Keitinys

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Integruokite ir įstatykite rėžius

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Atsakymas

I = 2,333

4.Integralai

Atsakymas: V = 53,62

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

4x = 2x² → x = 0, x = 2

Žiedų metodas

V = π∫₀² ((4x)² − (2x²)²) dx

Integruokite

V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17,07 = 53,62

Atsakymas

V = 53,62

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(1.5) = 1,104

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Įstatykite

f′(1,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Atsakymas

f′(1,5) = 1,104

6.Išvestinės

Atsakymas: b = 1

Taškas ir krypties koeficientas

f(1) = 5

f′(x) = 6x − 2 → f′(1) = 4

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − 4·1 = 1

Atsakymas

b = 1

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: |E| = 0,00894

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Tiksli reikšmė

I = 1,718282

Trapecijų formulė

T = (0,25/2)·(1 + 2·1,284025 + 2·1,648721 + 2·2,117 + 2,718282) = 1,727222

Paklaida

|E| = |1,727222 − 1,718282| = 0,00894

Atsakymas

|E| = 0,00894

Santykinė paklaida: 0,5203 %.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₂ = 0,4095

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Hoino žingsniai

y₁ = 0,5 + (0,2/2)(−0,25 − 0,225) = 0,4525

y₂ = 0,4525 + (0,2/2)(−0,22625 − 0,203625) = 0,409513

Grafikas

y₂ = 0,4095

Atsakymas

y₂ = 0,4095

Tiksli reikšmė yra y(0,4) = 0,409365.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations