Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 6y′ + 9y = 0, kai y(0) = 2 ir y′(0) = -1. Raskite y(1,5).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = -1

y(1.5) =

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite Koši uždavinį y′ + 3y/x = 4x², kai x > 0, su y(1) = 4. Raskite y(3).

y′ + 3y/x = 4x²y(1) = 4

y(3) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀¹ x·sin x dx (x radianais).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities tarp parabolės y = 4 − x² ir x ašies plotą A.

y = 4 − x²

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(2x), x radianais. Raskite f′(1,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ − 1,5x² + 3. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ − 1,5x² + 3

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formule su n = 3 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀^1,5 1/(1 + x³) dx. Pateikite T.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3

T =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,2, kai y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1, įvertinkite y₃ ≈ y(0,6).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,2

y₃ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1.5) = 0,1055

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Dviguba šaknis

(r + 3)² = 0 → r = −3

Konstantos

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = -1 + 6 = 5

Apskaičiuokite

y(1,5) = (2 + 5·1,5)·e^−4,5 = 0,1055

Atsakymas

y(1,5) = 0,1055

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(3) = 18,12

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Integruojantysis daugiklis

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Integruokite

(x³y)′ = 4x⁵ → x³y = 4x⁶/6 + C

Pradinė sąlyga

4 = 4/6 + C → C = 3,333

Apskaičiuokite

y(3) = (4·3⁶/6 + 3,333)/3³ = 18,12

Atsakymas

y(3) = 18,12

3.Integralai

Atsakymas: I = 0,3012

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Pirmykštė funkcija

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Ribos

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Atsakymas

I = 0,3012

4.Integralai

Atsakymas: A = 10,67

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Nuliai

4 − x² = 0 → x = ±2

Integruokite

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Atsakymas

A = 10,67

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(1.5) = −2,829

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Įstatykite

f′(1,5) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Atsakymas

f′(1,5) = −2,829

6.Išvestinės

Atsakymas: x = 1

Išvestinė

f′(x) = 3x² − 3x = 3·(x² − x)

Išspręskite f′(x) = 0

x = 0 arba x = 1

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x − 3: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(0) = −3, f″(1) = 3

x = 1

Atsakymas

x = 1

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: T = 1,002

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,888889 + 2·0,5 + 0,228571 = 4,006349

Trapecijų formulė

T = (0,5/2)·4,006349 = 1,002

Atsakymas

T = 1,002

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₃ = 1,849

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Hoino žingsniai

y₁ = 1 + (0,2/2)(1 + 1,237703) = 1,22377

y₂ = 1,22377 + (0,2/2)(1,242318 + 1,555441) = 1,503546

y₃ = 1,503546 + (0,2/2)(1,565813 + 1,886639) = 1,848791

Grafikas

y₃ = 1,849

Atsakymas

y₃ = 1,849

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations