Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 8y′ + 15y = 0, kai y(0) = 5 ir y′(0) = -4. Raskite y(1).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 5y′(0) = -4

y(1) =

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Sistema tenkina y″ + 2y′ + 10y = 10, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(1); kampai radianais.

y″ + 2y′ + 10y = 10y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀¹ e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 1]

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities tarp parabolės y = 4 − x² ir x ašies plotą A.

y = 4 − x²

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = ln(3x² + 4). Raskite f′(2).

f(x) = ln(3x² + 4)x = 2

f′(2) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ + 7,5x² + 18x + 3. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ + 7,5x² + 18x + 3

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Transporto priemonės greitis matuojamas kas 2 s (lentelė). Simpsono formule įvertinkite nueitą kelią s nuo t = 0 iki t = 8 s.

h = 2 sn = 4

s = m

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Oilerio metodu su h = 0,2, kai y′ = t − y, y(0) = 2, įvertinkite y₄ ≈ y(0,8).

y′ = t − yy(0) = 2h = 0,2

y₄ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1) = 0,4857

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteristinės šaknys

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Konstantos pagal pradines vertes

A + B = 5, −3A − 5B = -4

A = 10,5, B = −5,5

Apskaičiuokite

y(1) = 10,5·e⁻³ + (−5,5)·e⁻⁵ = 0,4857

Atsakymas

y(1) = 0,4857

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1) = 1,347

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

y_ss = 1, r = −1 ± 3j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1A + 3B = 0 → B = −0,3333

Apskaičiuokite

y(1) = 1·(1 − e⁻¹(cos 3 + 0,3333·sin 3)) = 1,347

Atsakymas

y(1) = 1,347

3.Integralai

Atsakymas: I = 0,7869

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Įstatykite rėžius

I = (e^−0,5 − 1)/(−0,5) = (0,6065 − 1)/(−0,5) = 0,7869

Atsakymas

I = 0,7869

4.Integralai

Atsakymas: A = 10,67

Nuliai

4 − x² = 0 → x = ±2

Integruokite

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Atsakymas

A = 10,67

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 0,75

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

Įstatykite

f′(2) = 12/16 = 0,75

Atsakymas

f′(2) = 0,75

6.Išvestinės

Atsakymas: x = −2

Išvestinė

f′(x) = 3x² + 15x + 18 = 3·(x² + 5x + 6)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −3 arba x = −2

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x + 15: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−3) = −3, f″(−2) = 3

x = −2

Atsakymas

x = −2

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: s = 84,67 m

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Svertinė suma

10 + 4·10 + 2·10 + 4·11 + 13 = 127

Simpsono formulė

s = (2/3)·127 = 84,67 m

Atsakymas

s = 84,67 m

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₄ = 1,029

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₁ = 2 + 0,2·(−2) = 1,6

y₂ = 1,6 + 0,2·(−1,4) = 1,32

y₃ = 1,32 + 0,2·(−0,92) = 1,136

y₄ = 1,136 + 0,2·(−0,536) = 1,0288

Grafikas

y₄ = 1,029

Atsakymas

y₄ = 1,029

Tiksli reikšmė yra y(0,8) = 1,147987.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations