Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 5y′ + 6y = 0, kai y(0) = 3 ir y′(0) = 4. Raskite y(0,5).

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 3y′(0) = 4

y(0.5) =

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Sistema tenkina y″ + y′ + 16,25y = 16,25, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite jos šuolinio atsako didžiausią vertę y_max.

y″ + y′ + 16,25y = 16,25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀³ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 3]

I =

4.IntegralaiSunkus

Apskaičiuokite I = ∫₀^2,5 x²·eˣ dx.

∫₀^2,5 x²eˣ dx

I =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(3x), x radianais. Raskite f′(1).

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ − 3x − 5. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ − 3x − 5

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formule su n = 3 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀² e^−x² dx. Pateikite T.

f(x) = e^−x²[a, b] = [0, 2]n = 3

T =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Oilerio metodu su h = 0,25, kai y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5, įvertinkite y₄ ≈ y(1).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,25

y₄ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(0.5) = 2,551

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteristinės šaknys

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

Konstantos pagal pradines vertes

A + B = 3, −2A − 3B = 4

A = 13, B = −10

Apskaičiuokite

y(0,5) = 13·e⁻¹ + (−10)·e^−1,5 = 2,551

Atsakymas

y(0,5) = 2,551

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y_max = 1,675

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

y_ss = 1, r = −0,5 ± 4j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −0,5A + 4B = 0 → B = −0,125

Smailė

t = π/4 = 0,7854

y_max = 1·(1 + e^−0,5·π/4) = 1,675

Atsakymas

y_max = 1,675

3.Integralai

Atsakymas: I = 6,963

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = e^0,5x/0,5

Įstatykite rėžius

I = (e^1,5 − 1)/0,5 = (4,482 − 1)/0,5 = 6,963

Atsakymas

I = 6,963

4.Integralai

Atsakymas: I = 37,59

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pirmasis ciklas

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Antrasis ciklas

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Ribos

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

Atsakymas

I = 37,59

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(1) = −2,829

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Įstatykite

f′(1) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Atsakymas

f′(1) = −2,829

6.Išvestinės

Atsakymas: x = −1

Išvestinė

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −1 arba x = 1

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = −1

Atsakymas

x = −1

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: T = 0,8796

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,6667

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,64118 + 2·0,169013 + 0,0183156 = 2,638703

Trapecijų formulė

T = (0,6667/2)·2,638703 = 0,8796

Atsakymas

T = 0,8796

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₄ = 1,405

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₁ = 0,5 + 0,25·(0,75) = 0,6875

y₂ = 0,6875 + 0,25·(0,902344) = 0,913086

y₃ = 0,913086 + 0,25·(0,992446) = 1,161197

y₄ = 1,161197 + 0,25·(0,974015) = 1,404701

Grafikas

y₄ = 1,405

Atsakymas

y₄ = 1,405

Tiksli reikšmė yra y(1) = 1,422469.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations