Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 2y′ + y = 0, kai y(0) = 2 ir y′(0) = -2. Raskite y(0,5).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 2y′(0) = -2

y(0.5) =

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Sistema tenkina y″ + 2y′ + 5y = 50, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(0,25); kampai radianais.

y″ + 2y′ + 5y = 50y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3.IntegralaiVidutinis

Sritis po y = √(4x) nuo x = 0 iki x = 1 sukama apie x ašį. Raskite kūno (paraboloido) tūrį V.

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 1

V =

4.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 6x ir parabolės y = 2x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 6xy = 2x²

V =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = ln(2x² + 2). Raskite f′(2).

f(x) = ln(2x² + 2)x = 2

f′(2) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ − 9x² + 15x − 6. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ − 9x² + 15x − 6

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formule su n = 3 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀² √x·e^−x dx. Pateikite T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 2]n = 3

T =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Oilerio metodu su h = 0,25, kai y′ = y(2 − y), y(0) = 1, įvertinkite y₃ ≈ y(0,75).

y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,25

y₃ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(0.5) = 1,213

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Dviguba šaknis

(r + 1)² = 0 → r = −1

Konstantos

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 1A → B = -2 + 2 = 0

Apskaičiuokite

y(0,5) = (2 + 0·0,5)·e^−0,5 = 1,213

Atsakymas

y(0,5) = 1,213

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(0.25) = 1,298

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

y_ss = 10, r = −1 ± 2j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −5

Apskaičiuokite

y(0,25) = 10·(1 − e^−0,25(cos 0,5 + 0,5·sin 0,5)) = 1,298

Atsakymas

y(0,25) = 1,298

3.Integralai

Atsakymas: V = 6,283

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Skritulių metodas

V = π∫₀¹ 4x dx

Integruokite

V = π·4·1²/2 = 6,283

Atsakymas

V = 6,283

4.Integralai

Atsakymas: V = 407,2

Susikirtimo taškai

6x = 2x² → x = 0, x = 3

Žiedų metodas

V = π∫₀³ ((6x)² − (2x²)²) dx

Integruokite

V = π(36·3³/3 − 4·3⁵/5) = π·129,6 = 407,2

Atsakymas

V = 407,2

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 0,8

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

Įstatykite

f′(2) = 8/10 = 0,8

Atsakymas

f′(2) = 0,8

6.Išvestinės

Atsakymas: x = 1

Išvestinė

f′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3·(x² − 6x + 5)

Išspręskite f′(x) = 0

x = 1 arba x = 5

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x − 18: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(1) = −12, f″(5) = 12

x = 1

Atsakymas

x = 1

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: T = 0,5462

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,6667

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,419203 + 2·0,304376 + 0,191393 = 1,638551

Trapecijų formulė

T = (0,6667/2)·1,638551 = 0,5462

Atsakymas

T = 0,5462

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₃ = 1,676

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₁ = 1 + 0,25·(1) = 1,25

y₂ = 1,25 + 0,25·(0,9375) = 1,484375

y₃ = 1,484375 + 0,25·(0,765381) = 1,67572

Grafikas

y₃ = 1,676

Atsakymas

y₃ = 1,676

Tiksli reikšmė yra y(0,75) = 1,635149.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations