Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

89 °C kavos puodelis paliekamas 23 °C kambaryje. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,1 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 6 min.

T₀ = 89 °CT_a = 23 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 6 min

T = °C

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite Koši uždavinį y′ + 2y/x = 5, kai x > 0, su y(1) = −2. Raskite y(2).

y′ + 2y/x = 5y(1) = −2

y(2) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities, apribotos y = x² ir y = 3x, plotą A.

y = x²y = 3x

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x²·e^−x. Raskite f′(1,5).

f(x) = x²·e^−xx = 1,5

f′(1.5) =

6.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = −x² − 3x − 2 liestinė taške x = −2 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = −x² − 3x − 2x = −2

b =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Transporto priemonės greitis matuojamas kas 1 s (lentelė). Simpsono formule įvertinkite nueitą kelią s nuo t = 0 iki t = 6 s.

h = 1 sn = 6

s = m

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Atlikite vieną klasikinio Rungės–Kutos metodo (RK4) žingsnį su h = 0,2, kai y′ = e^−ty, y(0) = 0,5. Raskite y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e^−tyy(0) = 0,5h = 0,2

y₁ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: T = 59,22 °C

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo dėsnio sprendinys

T(t) = 23 + 66·e^−0,1t

Įstatykite t

T(6) = 23 + 66·0,5488 = 59,22 °C

Atsakymas

T = 59,22 °C

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 2,417

Integruojantysis daugiklis

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integruokite

(x²y)′ = 5x² → x²y = 5x³/3 + C

Pradinė sąlyga

−2 = 5/3 + C → C = −3,667

Apskaičiuokite

y(2) = (5·2³/3 + (−3,667))/2² = 2,417

Atsakymas

y(2) = 2,417

3.Integralai

Atsakymas: I = 41,33

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Keitinys

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Integruokite ir įstatykite rėžius

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Atsakymas

I = 41,33

4.Integralai

Atsakymas: A = 4,5

Susikirtimo taškai

x² = 3x → x = 0, x = 3

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [1,5x² − 0,3333x³]₀³ = 4,5

Atsakymas

A = 4,5

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(1.5) = 0,1673

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos taisyklė

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(2x + (−1)·x²)

Įstatykite

f′(1,5) = 0,2231·(3 + (−2,25)) = 0,1673

Atsakymas

f′(1,5) = 0,1673

6.Išvestinės

Atsakymas: b = 2

Taškas ir krypties koeficientas

f(−2) = 0

f′(x) = −2x − 3 → f′(−2) = 1

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − 1·(−2) = 2

Atsakymas

b = 2

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: s = 84,67 m

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Svertinė suma

9 + 4·7 + 2·13 + 4·17 + 2·16 + 4·18 + 19 = 254

Simpsono formulė

s = (1/3)·254 = 84,67 m

Atsakymas

s = 84,67 m

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₁ = 0,688

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Keturi nuolydžiai

k₁ = f(0, 0,5) = 1

k₂ = f(0,1, 0,6) = 0,941765

k₃ = f(0,1, 0,594176) = 0,942313

k₄ = f(0,2, 0,688463) = 0,871367

Sujunkite

y₁ = 0,5 + (0,2/6)(1 + 2·0,941765 + 2·0,942313 + 0,871367) = 0,688

Atsakymas

y₁ = 0,688

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations