Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

85 °C kavos puodelis paliekamas 24 °C kambaryje. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,1 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 27 min.

T₀ = 85 °CT_a = 24 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 27 min

T = °C

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite y′ + 0,5y = 8e^−3t su y(0) = 0. Raskite y(2).

y′ + 0,5y = 8e^−3ty(0) = 0

y(2) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x radianais).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

4.IntegralaiSunkus

Apskaičiuokite I = ∫₀^2,5 x²·eˣ dx.

∫₀^2,5 x²eˣ dx

I =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = ln(x² + 4). Raskite f′(−2).

f(x) = ln(x² + 4)x = −2

f′(−2) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ − 13,5x² + 54x − 3. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ − 13,5x² + 54x − 3

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Simpsono formule su n = 4 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀^1,5 1/(1 + x³) dx. Pateikite S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4

S =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,25, kai y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5, įvertinkite y₃ ≈ y(0,75).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,25

y₃ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: T = 28,1 °C

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo dėsnio sprendinys

T(t) = 24 + 61·e^−0,1t

Įstatykite t

T(27) = 24 + 61·0,06721 = 28,1 °C

Atsakymas

T = 28,1 °C

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 1,169

Integruojantysis daugiklis

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 8e^−2,5t

Bendrasis sprendinys

y = 8/(−2,5)·e^−3t + C·e^−0,5t = −3,2·e^−3t + C·e^−0,5t

Pradinė sąlyga

0 = −3,2 + C → C = 3,2

Apskaičiuokite

y(2) = −3,2·0,002479 + 3,2·0,3679 = 1,169

Atsakymas

y(2) = 1,169

3.Integralai

Atsakymas: I = 0,4069

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Pirmykštė funkcija

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Ribos

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Atsakymas

I = 0,4069

4.Integralai

Atsakymas: I = 37,59

Pirmasis ciklas

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Antrasis ciklas

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Ribos

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

Atsakymas

I = 37,59

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(−2) = −0,5

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Įstatykite

f′(−2) = −4/8 = −0,5

Atsakymas

f′(−2) = −0,5

6.Išvestinės

Atsakymas: x = 3

Išvestinė

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

Išspręskite f′(x) = 0

x = 3 arba x = 6

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x − 27: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 3

Atsakymas

x = 3

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: S = 1,011

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,375

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,949907 + 2·0,703297 + 4·0,412571 + 0,228571 = 8,085076

Simpsono formulė

S = (0,375/3)·8,085076 = 1,011

Atsakymas

S = 1,011

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₃ = 1,19

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Hoino žingsniai

y₁ = 0,5 + (0,25/2)(0,75 + 0,902344) = 0,706543

y₂ = 0,706543 + (0,25/2)(0,913883 + 0,995777) = 0,94525

y₃ = 0,94525 + (0,25/2)(0,997002 + 0,962169) = 1,190147

Grafikas

y₃ = 1,19

Atsakymas

y₃ = 1,19

Tiksli reikšmė yra y(0,75) = 1,198042.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations