Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

4 °C gaiviojo gėrimo skardinė išimama iš šaldytuvo į 27 °C kambarį. Po 22 min temperatūra yra 23 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Raskite konstantą k min⁻¹.

T₀ = 4 °CT_a = 27 °CT(22) = 23 °C

k = min⁻¹

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Talpoje yra 500 L vandens, kuriame ištirpinta 5 kg druskos. Sūrymas, kurio litre yra 0,2 kg druskos, įteka 10 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Kiek druskos m bus talpoje po 60 min?

V = 500 Lm₀ = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min

m = kg

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀¹ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities, apribotos y = 2x² ir y = x, plotą A.

y = 2x²y = x

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = ln(x² + 5). Raskite f′(2).

f(x) = ln(x² + 5)x = 2

f′(2) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ + 3x² − 9x + 6. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ + 3x² − 9x + 6

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formule su n = 6 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀^1,5 √(1 + x³) dx. Pateikite T.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 6

T =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Išspręskite y′ = y − t², y(0) = 0,5 Oilerio metodu su žingsniu h = 0,25 iki t = 1. Tikslus sprendinys yra y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Raskite globaliąją paklaidą |E| = |y(1) − y₄|.

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,25

|E| =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: k = 0,07951 min⁻¹

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Temperatūrų skirtumų santykis

e^−22k = -4/-23

Išspręskite k atžvilgiu

k = ln(-23/-4)/22 = 0,07951 min⁻¹

Atsakymas

k = 0,07951 min⁻¹

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: m = 71,39 kg

Sudarykite lygtį

dm/dt = 10·0,2 − (10/500)·m = 2 − 0,02·m

Išspręskite

Integruojantysis daugiklis yra e^rt/V; sprendinys artėja prie pusiausvyrinės reikšmės c·V.

m(t) = 100 + (−95)·e^−t/50

Įstatykite t

m(60) = 100 + (−95)·0,3012 = 71,39 kg

Atsakymas

m = 71,39 kg

3.Integralai

Atsakymas: I = 3,195

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = e^2x/2

Įstatykite rėžius

I = (e² − 1)/2 = (7,389 − 1)/2 = 3,195

Atsakymas

I = 3,195

4.Integralai

Atsakymas: A = 0,04167

Susikirtimo taškai

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Atsakymas

A = 0,04167

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 0,4444

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 2x/(x² + 5)

Įstatykite

f′(2) = 4/9 = 0,4444

Atsakymas

f′(2) = 0,4444

6.Išvestinės

Atsakymas: x = −3

Išvestinė

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −3 arba x = 1

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x + 6: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = −3

Atsakymas

x = −3

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: T = 1,985

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·1,007782 + 2·1,06066 + 2·1,192424 + 2·1,414214 + 2·1,718466 + 2,09165 = 15,878742

Trapecijų formulė

T = (0,25/2)·15,878742 = 1,985

Atsakymas

T = 1,985

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: |E| = 0,05496

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₄ = 0,977539

Tiksli reikšmė

y(1) = 0,922577

Globalioji paklaida

|E| = |0,922577 − 0,977539| = 0,05496

Grafikas

Atsakymas

|E| = 0,05496

Perpus sumažinus h, Oilerio metodo paklaida sumažėja maždaug perpus.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations