Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

5 °C gaiviojo gėrimo skardinė išimama iš šaldytuvo į 29 °C kambarį. Po 17 min temperatūra yra 20 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kiek laiko nuo pradžios, t, reikia, kad temperatūra pasiektų 26 °C?

T₀ = 5 °CT_a = 29 °CT(17) = 20 °CT = 26 °C

t = min

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite Koši uždavinį y′ + 3y/x = 6x², kai x > 0, su y(1) = 5. Raskite y(3).

y′ + 3y/x = 6x²y(1) = 5

y(3) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x radianais).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities tarp parabolės y = 9 − x² ir x ašies plotą A.

y = 9 − x²

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·e^x. Raskite f′(1,5).

f(x) = x·e^xx = 1,5

f′(1.5) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ + 1,5x² − 6x − 6. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ + 1,5x² − 6x − 6

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Transporto priemonės greitis matuojamas kas 2 s (lentelė). Trapecijų formule įvertinkite nueitą kelią s nuo t = 0 iki t = 10 s.

h = 2 sn = 5

s = m

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,1, kai y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0, įvertinkite y₂ ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,1

y₂ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: t = 36,04 min

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo konstanta

k = ln(-24/-9)/17 = 0,0577 min⁻¹

Laikas iki tikslinės temperatūros

t = ln(-24/(−3))/0,0577 = 36,04 min

Atsakymas

t = 36,04 min

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(3) = 27,15

Integruojantysis daugiklis

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Integruokite

(x³y)′ = 6x⁵ → x³y = 6x⁶/6 + C

Pradinė sąlyga

5 = 6/6 + C → C = 4

Apskaičiuokite

y(3) = (6·3⁶/6 + 4)/3³ = 27,15

Atsakymas

y(3) = 27,15

3.Integralai

Atsakymas: I = 0,4069

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Pirmykštė funkcija

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Ribos

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Atsakymas

I = 0,4069

4.Integralai

Atsakymas: A = 36

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Nuliai

9 − x² = 0 → x = ±3

Integruokite

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Atsakymas

A = 36

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(1.5) = 11,2

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos taisyklė

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(1 + 1·x)

Įstatykite

f′(1,5) = 4,482·(1 + 1,5) = 11,2

Atsakymas

f′(1,5) = 11,2

6.Išvestinės

Atsakymas: x = 1

Išvestinė

f′(x) = 3x² + 3x − 6 = 3·(x² + x − 2)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −2 arba x = 1

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x + 3: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−2) = −9, f″(1) = 9

x = 1

Atsakymas

x = 1

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: s = 158 m

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Svertinė suma

10 + 2·11 + 2·12 + 2·18 + 2·21 + 24 = 158

Trapecijų formulė

s = (2/2)·158 = 158 m

Atsakymas

s = 158 m

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₂ = 0,203

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Hoino žingsniai

y₁ = 0 + (0,1/2)(1 + 1,01) = 0,1005

y₂ = 0,1005 + (0,1/2)(1,01005 + 1,04029) = 0,203017

Grafikas

y₂ = 0,203

Atsakymas

y₂ = 0,203

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations