Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 8y′ + 16y = 0, kai y(0) = 5 ir y′(0) = 2. Raskite y(0,5).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 2

y(0.5) =

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Sistema tenkina y″ + 4y′ + 8y = 8, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(1,5); kampai radianais.

y″ + 4y′ + 8y = 8y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₁⁴ x·ln x dx.

∫₁⁴ x ln x dx

I =

4.IntegralaiSunkus

Apskaičiuokite I = ∫₀^2,5 x²·eˣ dx.

∫₀^2,5 x²eˣ dx

I =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x³·e^−x. Raskite f′(0,5).

f(x) = x³·e^−xx = 0,5

f′(0.5) =

6.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = 3x² − 4x + 4 liestinė taške x = −2 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = 3x² − 4x + 4x = −2

b =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formule, kai n = 4, apytiksliai apskaičiuokite ∫₀² eˣ dx ir palyginkite su tikslia reikšme. Raskite absoliučiąją paklaidą |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 4

|E| =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Hoino metodu (patobulintu Oilerio) su h = 0,25, kai y′ = e^−ty, y(0) = 0, įvertinkite y₃ ≈ y(0,75).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,25

y₃ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(0.5) = 2,165

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Dviguba šaknis

(r + 4)² = 0 → r = −4

Konstantos

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 4A → B = 2 + 20 = 22

Apskaičiuokite

y(0,5) = (5 + 22·0,5)·e⁻² = 2,165

Atsakymas

y(0,5) = 2,165

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1.5) = 1,042

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

y_ss = 1, r = −2 ± 2j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −2A + 2B = 0 → B = −1

Apskaičiuokite

y(1,5) = 1·(1 − e⁻³(cos 3 + 1·sin 3)) = 1,042

Atsakymas

y(1,5) = 1,042

3.Integralai

Atsakymas: I = 7,34

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Pirmykštė funkcija

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Ribos

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34

Atsakymas

I = 7,34

4.Integralai

Atsakymas: I = 37,59

Pirmasis ciklas

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Antrasis ciklas

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Ribos

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

Atsakymas

I = 37,59

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(0.5) = 0,3791

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos taisyklė

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

Įstatykite

f′(0,5) = 0,6065·(0,75 + (−0,125)) = 0,3791

Atsakymas

f′(0,5) = 0,3791

6.Išvestinės

Atsakymas: b = −8

Taškas ir krypties koeficientas

f(−2) = 24

f′(x) = 6x − 4 → f′(−2) = −16

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 24 − (−16)·(−2) = −8

Atsakymas

b = −8

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: |E| = 0,1326

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Tiksli reikšmė

I = 6,389056

Trapecijų formulė

T = (0,5/2)·(1 + 2·1,648721 + 2·2,718282 + 2·4,481689 + 7,389056) = 6,52161

Paklaida

|E| = |6,52161 − 6,389056| = 0,1326

Atsakymas

|E| = 0,1326

Santykinė paklaida: 2,075 %.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₃ = 0,6343

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Hoino žingsniai

y₁ = 0 + (0,25/2)(1 + 0,939413) = 0,242427

y₂ = 0,242427 + (0,25/2)(0,941193 + 0,787523) = 0,458516

y₃ = 0,458516 + (0,25/2)(0,795123 + 0,610808) = 0,634258

Grafikas

y₃ = 0,6343

Atsakymas

y₃ = 0,6343

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations