Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

480 °C kalta plieno detalė paliekama aušti 24 °C dirbtuvėje. Po 53 min temperatūra yra 56 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kiek laiko nuo pradžios, t, reikia, kad temperatūra pasiektų 34 °C?

T₀ = 480 °CT_a = 24 °CT(53) = 56 °CT = 34 °C

t = min

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite y′ + 0,5y = 7e^−t su y(0) = 3. Raskite y(1).

y′ + 0,5y = 7e^−ty(0) = 3

y(1) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₂⁸ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 8]

I =

4.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 4x ir parabolės y = x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 4xy = x²

V =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = (2x + 3)⁵. Raskite f′(2).

f(x) = (2x + 3)⁵x = 2

f′(2) =

6.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = 0,5x² − 4x − 2 liestinė taške x = 3 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = 0,5x² − 4x − 2x = 3

b =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formule, kai n = 2, apytiksliai apskaičiuokite ∫₁⁴ 1/x dx ir palyginkite su tikslia reikšme. Raskite absoliučiąją paklaidą |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2

|E| =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Išspręskite y′ = −2ty, y(0) = 1 Oilerio metodu su žingsniu h = 0,1 iki t = 0,3. Tikslus sprendinys yra y = y₀e^−t². Raskite globaliąją paklaidą |E| = |y(0,3) − y₃|.

y′ = −2tyy(0) = 1h = 0,1

|E| =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: t = 76,2 min

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo konstanta

k = ln(456/32)/53 = 0,05013 min⁻¹

Laikas iki tikslinės temperatūros

t = ln(456/10)/0,05013 = 76,2 min

Atsakymas

t = 76,2 min

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1) = 5,161

Integruojantysis daugiklis

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 7e^−0,5t

Bendrasis sprendinys

y = 7/(−0,5)·e^−t + C·e^−0,5t = −14·e^−t + C·e^−0,5t

Pradinė sąlyga

3 = −14 + C → C = 17

Apskaičiuokite

y(1) = −14·0,3679 + 17·0,6065 = 5,161

Atsakymas

y(1) = 5,161

3.Integralai

Atsakymas: I = 4,159

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = 3·ln x

Įstatykite rėžius

I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4,159

Atsakymas

I = 4,159

4.Integralai

Atsakymas: V = 428,9

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

4x = 1x² → x = 0, x = 4

Žiedų metodas

V = π∫₀⁴ ((4x)² − (1x²)²) dx

Integruokite

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136,5 = 428,9

Atsakymas

V = 428,9

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 24010

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė

f′(x) = 5·(2x + 3)⁴·2

Įstatykite

f′(2) = 5·7⁴·2 = 24010

Atsakymas

f′(2) = 24010

6.Išvestinės

Atsakymas: b = −6,5

Taškas ir krypties koeficientas

f(3) = −9,5

f′(x) = x − 4 → f′(3) = −1

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −9,5 − (−1)·3 = −6,5

Atsakymas

b = −6,5

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: |E| = 0,1512

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Tiksli reikšmė

I = 1,386294

Trapecijų formulė

T = (1,5/2)·(1 + 2·0,4 + 0,25) = 1,5375

Paklaida

|E| = |1,5375 − 1,386294| = 0,1512

Atsakymas

|E| = 0,1512

Santykinė paklaida: 10,91 %.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: |E| = 0,02687

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₃ = 0,9408

Tiksli reikšmė

y(0,3) = 0,913931

Globalioji paklaida

|E| = |0,913931 − 0,9408| = 0,02687

Grafikas

Atsakymas

|E| = 0,02687

Perpus sumažinus h, Oilerio metodo paklaida sumažėja maždaug perpus.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations