Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 8y′ + 16y = 0, kai y(0) = 2 ir y′(0) = 0. Raskite y(1,5).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(1.5) =

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Sistema tenkina y″ + 2y′ + 5y = 50, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(1,5); kampai radianais.

y″ + 2y′ + 5y = 50y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀^π x·sin x dx (x radianais).

∫₀^π x·sin x dx

I =

4.IntegralaiSunkus

Apskaičiuokite I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·e^0,5x. Raskite f′(2).

f(x) = x·e^0,5xx = 2

f′(2) =

6.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = 2x² + 2x + 5 liestinė taške x = −1 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = 2x² + 2x + 5x = −1

b =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Simpsono formule su n = 4 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀^1,5 1/√(1 + x⁴) dx. Pateikite S.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1,5]n = 4

S =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Oilerio metodu su h = 0,2, kai y′ = y − t², y(0) = −1, įvertinkite y₄ ≈ y(0,8).

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,2

y₄ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1.5) = 0,0347

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Dviguba šaknis

(r + 4)² = 0 → r = −4

Konstantos

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 4A → B = 0 + 8 = 8

Apskaičiuokite

y(1,5) = (2 + 8·1,5)·e⁻⁶ = 0,0347

Atsakymas

y(1,5) = 0,0347

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1.5) = 12,05

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

y_ss = 10, r = −1 ± 2j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −5

Apskaičiuokite

y(1,5) = 10·(1 − e^−1,5(cos 3 + 0,5·sin 3)) = 12,05

Atsakymas

y(1,5) = 12,05

3.Integralai

Atsakymas: I = 3,142

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Pirmykštė funkcija

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Ribos

(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3,142

Atsakymas

I = 3,142

4.Integralai

Atsakymas: I = 12,78

Pirmasis ciklas

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Antrasis ciklas

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Ribos

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Atsakymas

I = 12,78

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 5,437

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos taisyklė

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

Įstatykite

f′(2) = 2,718·(1 + 1) = 5,437

Atsakymas

f′(2) = 5,437

6.Išvestinės

Atsakymas: b = 3

Taškas ir krypties koeficientas

f(−1) = 5

f′(x) = 4x + 2 → f′(−1) = −2

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − (−2)·(−1) = 3

Atsakymas

b = 3

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: S = 1,199

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,375

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,990257 + 2·0,871576 + 4·0,619958 + 0,406138 = 9,590149

Simpsono formulė

S = (0,375/3)·9,590149 = 1,199

Atsakymas

S = 1,199

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₄ = −2,196

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₁ = −1 + 0,2·(−1) = −1,2

y₂ = −1,2 + 0,2·(−1,24) = −1,448

y₃ = −1,448 + 0,2·(−1,608) = −1,7696

y₄ = −1,7696 + 0,2·(−2,1296) = −2,19552

Grafikas

y₄ = −2,196

Atsakymas

y₄ = −2,196

Tiksli reikšmė yra y(0,8) = −2,436623.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations