Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 260 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 2400 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 260 km/hs = 2400 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 1 s suteikia jai pastovų 22 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią raketos pasiekiamą aukštį h_max.

a = 22 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

3 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 3 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

2,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 6 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 50° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 28 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 36 m/s greičiu 45° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 16 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 36 m/sθ = 45°h_roof = 16 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 95 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 95 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,2 kg rutuliukas ant 0,8 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 9 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,2 kgr = 0,8 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Raskite jo greitį v, nuslydus 5 m nuokalne.

θ = 30°μ = 0,25d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,1). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 5 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 0,5 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0,1d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1000 kg automobilis, judantis 7 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1000 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek procentų ΔK/K pradinės kinetinės energijos prarandama?

m₁ = 1000 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

8 g kulka horizontaliai įšaunama į 1 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1,8 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 15° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 8 gM = 1 kgL = 1,8 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Variklis duoda 150 N·m sukimo momentą esant 300 rpm. Raskite jo išėjimo galią P kW.

T = 150 N·mn = 300 rpm

P = kW

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas rutulys, kurio masė 8,5 kg, be slydimo rieda 8,5 m/s greičiu. Raskite jo visą kinetinę energiją E_k.

m = 8,5 kgv = 8,5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_k = J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Du lygiagretūs velenai yra 75 mm atstumu vienas nuo kito. Juos reikia sujungti cilindrinių tiesiadančių krumpliaračių pora, kurios modulis 2,5 mm, o greičio sumažinimas 1,5 : 1. Kiek dantų N₁ turi turėti krumpliaratukas?

a = 75 mmm = 2,5 mmi = 1,5

N₁ =

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (12 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1440 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (48 dantų). Krumpliaratis C (30 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 216 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 1440 rpmA = 12B = 48C = 30n_out = 216 rpm

N_D =

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

0,3 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 90 N/m, atitraukiamas 12 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 0,3 s (su ženklu).

m = 0,3 kgk = 90 N/mA = 12 cmt = 0,3 s

x = cm

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,5 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 160 N/m, atitraukiamas 7 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 3,5 kgk = 160 N/mA = 7 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

500 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 200 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,3. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 500 kgk = 200 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 80 kN/m, apatinės k₂ = 20 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 1,087 m/s²

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v = 260/3,6 = 72,22 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 72,22²/(2·2400) = 1,087 m/s²

Atsakymas

a = 1,087 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 35,67 m

Varomoji fazė

v₁ = 22·1 = 22 m/s

h₁ = ½·22·1² = 11 m

Laisvasis skrydis aukštyn

Viršuje greitis lygus nuliui.

Δh = v₁²/(2g) = 22²/(2·9,81) = 24,67 m

h_max = 11 + 24,67 = 35,67 m

Atsakymas

h_max = 35,67 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,427 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 40° − 0,25·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1915) = 4,427 m/s²

Atsakymas

a = 4,427 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 6,203 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 6,131)/8,5 = 6,203 m/s²

Atsakymas

a = 6,203 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 78,7 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 50° = 18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 50° = 21,45 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·21,45/9,81 = 4,373 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 18·4,373 = 78,7 m

Atsakymas

x = 78,7 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 113,5 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 25,46 m/s, v_y = 25,46 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

16 = 25,46·t − 4,905·t²

t = (25,46 + √(25,46² − 2·9,81·16))/9,81 = 4,458 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 25,46·4,458 = 113,5 m

Atsakymas

x = 113,5 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 23,65 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·95) = 23,65 m/s

Atsakymas

v_max = 23,65 m/s (85,13 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 22,21 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,2·9,81 + 0,2·9²/0,8 = 1,962 + 20,25 = 22,21 N

Atsakymas

T = 22,21 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,274 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·5·(0,5 − 0,25·0,866)) = 5,274 m/s

Atsakymas

v = 5,274 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 2,101 m/s

Išsiskyrusi ir prarasta energija

m₂g·d = 49,05·0,5 = 24,53 J

μ·m₁g·d = 0,1·49,05·0,5 = 2,453 J

Abiejų kaladėlių kinetinė energija

½(m₁ + m₂)v² = 22,07 → v = √(2·22,07/10) = 2,101 m/s

Atsakymas

v = 2,101 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK/K = 50 %

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·7/2000 = 3,5 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·1000·7² = 24500 J

K_after = ½·2000·3,5² = 12250 J

Prarasta dalis

ΔK/K = 12250/24500 = 50 %

Atsakymas

ΔK/K = 50 %

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 138,2 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 1,8·(1 − cos 15°) = 0,06133 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,06133) = 1,097 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 1,008·1,097/0,008 = 138,2 m/s

Atsakymas

v = 138,2 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: P = 4,712 kW

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

Galia

P = T·ω = 150·31,42 = 4712 W = 4,712 kW

Atsakymas

P = 4,712 kW

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: E_k = 429,9 J

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Slenkamoji ir sukimosi dalys

E_trans = ½·m·v² = ½·8,5·8,5² = 307,1 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·307,1 = 122,8 J

Iš viso

E_k = 307,1 + 122,8 = 429,9 J

Atsakymas

E_k = 429,9 J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N₁ = 24

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: F_t = 2T/d.

Bendras dantų skaičius

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·75/2,5 = 60

Padalykite pagal perdavimo skaičių

N₁ = 60/(1 + 1,5) = 24

Atsakymas

N₁ = 24

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 50

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 1440·12/48 = 360 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 30·360/216 = 50

Atsakymas

N_D = 50

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = 5,581 cm

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(90/0,3) = 17,32 rad/s

ω·t = 17,32·0,3 = 5,196 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(5,196) = 5,581 cm

Atsakymas

x = 5,581 cm

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 3,2 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(160/3,5) = 6,761 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,07·6,761² = 3,2 m/s²

Atsakymas

a_max = 3,2 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 3,036 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(200000/500) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,3²) = 3,036 Hz

Atsakymas

f_d = 3,036 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 6,366 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/20 → k_eq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(16000/10) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6,366 Hz

Atsakymas

f_n = 6,366 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics