Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
Pastoviu 27 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 5,5 m/s² pagreičiu. Kokiu atstumu nuo savo pradinio taško policijos automobilis pasiveja? Raskite d.
Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 8 m/s greičiu nuo stogo, esančio 25 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.
17 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.
Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 85 N jėga traukia priekinę 2 kg kaladėlę; 12 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jungiamojo siūlo įtempimo jėgą T.
Kamuolys metamas 60° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.
Kamuolys 34 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 55 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.
Automobilis važiuoja horizontaliu 45 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį vmax, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.
100 m spindulio posūkis turi 18° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį vmax, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.
Automobilis, važiuojantis lygiu keliu 90 km/h greičiu, staigiai stabdo ir užblokuotais ratais slysta iki sustojimo. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,7. Raskite stabdymo kelią d.
1 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 5 m ilgio juostą (μ = 0,3) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 4000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.
1 kg vežimėlis, judantis 10 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′1 po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).
1300 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1800 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 19,5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,75. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v1 prieš pat susidūrimą.
Variklis duoda 70 N·m sukimo momentą esant 300 rpm. Raskite jo išėjimo galią P kW.
Vienalytis plonas 5 kg masės ir 1,1 m ilgio strypas ramiai kabo ant besitrinties šarnyro viršutiniame gale. 35 g masės kulka, horizontaliai lekianti 120 m/s greičiu, pataiko į strypą 1,04 m žemiau šarnyro ir įstringa. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią kampą φ nuo vertikalės, per kurį strypas pasisuka.
3 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 15; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 72. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 96 %. Raskite sukimo momentą T1 variklio velene.
Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 18 dantų, o kiekvienas satelitas – 24 dantų. Vedžiklis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1200 rpm greičiu. Raskite vainikinio krumpliaračio sukimosi greitį nr (didumą).
Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,1 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.
Kūnas atlieka harmoninius svyravimus, kurių periodas 0,5 s, o amplitudė 10 cm. Per kokį trumpiausią laiką t jis nuo pusiausvyros padėties pasislenka iki 8 cm poslinkio?
40 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 50 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,7. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.
20 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 20 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.
Atsakymas: d = 265,1 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 54 m/s.
Atsakymas: t = 3,216 s
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.
Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.
Atsakymas: a = 4,427 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.
Atsakymas: T = 72,86 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Kai abiejų kaladėlių μ vienodas, trintis išnyksta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Atsakymas: x = 127,5 m
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2vy/g.
Atsakymas: H = 99,19 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Atsakymas: vmax = 18,79 m/s
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Atsakymas: vmax = 23,47 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Trintis nukreipta žemyn šlaitu.
Atsakymas: d = 45,51 m
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Padvigubinus greitį, stabdymo kelias pailgėja keturis kartus.
Atsakymas: x = 9,905 cm
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.
Atsakymas: v′1 = −6,667 m/s
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.
Minuso ženklas reiškia, kad pirmasis vežimėlis atšoka atgal.
Atsakymas: v1 = 40,39 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Atsakymas: P = 2,199 kW
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Atsakymas: φ = 33,89 °
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Šarnyro jėga eina per šarnyrą, todėl smūgio metu ten momento neturi.
Atsakymas: T1 = 19,1 N·m
Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.
Atsakymas: nr = 327,3 rpm
Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.
Kai nc = 0, saulės krumpliaratis per satelitus suka vainiką, o satelitai veikia kaip tarpiniai krumpliaračiai.
Vainikas sukasi priešinga kryptimi nei saulės krumpliaratis.
Atsakymas: L = 0,3007 m
Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².
Atsakymas: t = 0,07379 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Atsakymas: fd = 4,018 Hz
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Atsakymas: fn = 7,118 Hz
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics