Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

54 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 3 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 54 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 60 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 24 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y virš žemės jie susitinka?

H = 60 mv_0B = 24 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

20 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 15° kampą virš horizontalės, 70 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 20 kgF = 70 Nθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 1,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 1 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 50° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 34 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 30° kampu į horizontą nuo 45 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 29 m/sθ = 30°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 55 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 55 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

130 m spindulio posūkis turi 20° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 130 mθ = 20°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

4 kg kūnas nuslysta 10 m nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,4. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 4 kgθ = 45°μ = 0,4d = 10 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 10,4 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 4 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 2 kgh = 10,4 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

13 kg sviedinys, horizontaliai judantis 13 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 4 kg skeveldra toliau juda pirmyn 70 m/s greičiu. Raskite 9 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 13 kgu = 13 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 70 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,4 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 30 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 9 m/s greičiu. Sąlytis trunka 40 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,4 kgv_in = 30 m/sv_out = 9 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 10 kg masės ir 0,8 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir paleidžiamas iš rimties horizontalioje padėtyje. Trinties nepaisykite ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite strypo kampinį greitį ω, kai jis praeina vertikalią padėtį.

m = 10 kgL = 0,8 mg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis vientisas diskas (masė 19 kg, spindulys 0,5 m) laisvai sukasi 250 rpm apie vertikalų besitrinantį velenėlį be trinties. Plonas 1 kg masės to paties spindulio žiedas numetamas ant jo iš rimties, centruotas veleno atžvilgiu, ir abu greitai susisuka kartu. Kiek kinetinės energijos ΔE prarandama proceso metu?

M_disc = 19 kgM_ring = 1 kgR = 0,5 mn₁ = 250 rpm

ΔE = J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Sliekas (pradų skaičius 4) sukasi 960 rpm greičiu ir suka sliekratį su 36 dantų. Raskite sliekračio sukimosi greitį n_w.

z = 4N_w = 36n = 960 rpm

n_w = rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

11 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (15 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (45 dantų). Krumpliaratis C (20 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (60 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 96%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 11 kWn_in = 1450 rpmA = 15B = 45C = 20D = 60η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,3 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1,3 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 280 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 17 cm amplitude. Raskite spyruoklėje sukauptą energiją U, kai krovinys yra 9 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 280 N/mA = 17 cmx = 9 cm

U = J

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

200 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 40 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,35. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 200 kgk = 40 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 20 kN/m, apatinės k₂ = 80 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 37,5 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·3) = 37,5 m

Atsakymas

s = 37,5 m

2.Kinematika

Atsakymas: y = 29,34 m

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

60 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 60/24 = 2,5 s

Susitikimo aukštis

y = 24·2,5 − ½·9,81·2,5² = 29,34 m

Atsakymas

y = 29,34 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,6 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 70·sin 15° = 178,1 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 67,61 − 35,62

a = 32/20 = 1,6 m/s²

Atsakymas

a = 1,6 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 6,475 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0,981)/2,5 = 5,494 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·5,494 + 0,981 = 6,475 N

Atsakymas

T = 6,475 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 5,31 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 50° = 21,85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 50° = 26,05 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·26,05/9,81 = 5,31 s

Atsakymas

t = 5,31 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 4,848 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 30° = 25,11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 30° = 14,5 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 45 + 14,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14,5 + √(210,2 + 882,9))/9,81 = 4,848 s

Atsakymas

t = 4,848 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 17,99 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·55) = 17,99 m/s

Atsakymas

v_max = 17,99 m/s (64,77 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 33,77 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(130·9,81·0,7179/0,8029) = 33,77 m/s

Atsakymas

v_max = 33,77 m/s

(121,6 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 111 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 39,24·0,7071 = 27,75 N

F = μN = 0,4·27,75 = 11,1 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 11,1·10 = 111 J

Atsakymas

W_f = 111 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 3,924 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(10,4 − 8) = 47,09 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·47,09/4 − 19,62 = 3,924 N

Atsakymas

N = 3,924 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = −12,33 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 13·13 = 169 kg·m/s

Judesio kiekis po

169 = 4·70 + 9·v′₂

v′₂ = (169 − 280)/9 = −12,33 m/s

Atsakymas

v′₂ = −12,33 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad antroji skeveldra lekia atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 15,6 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,4·(9 + 30) = 15,6 N·s

Atsakymas

J = 15,6 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 6,065 rad/s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Potencinės energijos sumažėjimas

m·g·L/2 = 10·9,81·0,4 = 39,24 J

Inercijos momentas šarnyro atžvilgiu

I_O = m·L²/3 = 10·0,8²/3 = 2,133 kg·m²

Energijos balansas

½·I_O·ω² = 39,24 → ω = √(2·39,24/2,133) = 6,065 rad/s

Atsakymas

ω = 6,065 rad/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ΔE = 77,51 J

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentai

I₁ = ½·19·0,5² = 2,375 kg·m²

I₂ = 1·0,5² = 0,25 kg·m²

Judesio kiekio momento tvermė

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 250·2,375/2,625 = 226,2 rpm

Kinetinė energija prieš ir po

E₁ = ½·2,375·26,18² = 813,9 J

E₂ = ½·2,625·23,69² = 736,4 J

ΔE = 813,9 − 736,4 = 77,51 J

Atsakymas

ΔE = 77,51 J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_w = 106,7 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 960·4/36 = 106,7 rpm

Atsakymas

n_w = 106,7 rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 600,9 N·m

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 1450·(15/45)·(20/60) = 161,1 rpm

ω_out = 2π·161,1/60 = 16,87 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 11000·0,96² = 10138 W

T_out = P_out/ω_out = 10138/16,87 = 600,9 N·m

Atsakymas

T_out = 600,9 N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,4199 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,3/2π)² = 0,4199 m

Atsakymas

L = 0,4199 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: U = 1,134 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·280·0,17² = 4,046 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·280·0,09² = 1,134 J

Atsakymas

U = 1,134 J

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 2,108 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(40000/200) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,35²) = 2,108 Hz

Atsakymas

f_d = 2,108 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 16 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/80 → k_eq = 20·80/(20 + 80) = 16 kN/m

Atsakymas

k_eq = 16 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics