Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

80 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 7,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 80 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 11 m/s greičiu nuo stogo, esančio 5 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 11 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

14 kg kūnas slysta žemyn nuokalne be trinties, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 14 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1 kg kaladėlė ant 25° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 7 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 1 kgm₂ = 7 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 35° kampu virš horizontalės ir nukrinta 95 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 35°R = 95 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 13 m/s greičiu 45° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 5 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 13 m/sθ = 45°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 75 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 75 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,9 kg rutuliukas ant lengvo 1,1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 11 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 0,9 kgr = 1,1 mv_bottom = 11 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

2 kg kūnas nuslysta 3 m nuokalne, pasvirusia 20° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 2 kgθ = 20°μ = 0,15d = 3 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

4 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3,5 m ilgio juostą (μ = 0,25) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 5000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 4 kgh = 1,5 mL = 3,5 mμ = 0,25k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

2000 kg automobilis, judantis 8 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1000 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek procentų ΔK/K pradinės kinetinės energijos prarandama?

m₁ = 2000 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1800 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1500 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 8,5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1800 kgm₂ = 1500 kgd = 8,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 4,5 kg masės ir 3 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir laikomas horizontaliai. Jis paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vertikaliąją jėgą R, kuria šarnyras veikia strypą iškart po paleidimo.

m = 4,5 kgL = 3 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

tuščiaviduris rutulys be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 10° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jo centro pagreitį a.

θ = 10°I = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,1 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 16 dantų, kurio modulis 2 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 1,1 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 2 mm

F_t = N

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 18 dantų, o kiekvienas satelitas – 12 dantų. Vainikinis krumpliaratis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1200 rpm greičiu. Raskite vedžiklio sukimosi greitį n_c.

N_s = 18N_p = 12n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 2,9 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 2,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,4 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 350 N/m, atitraukiamas 6 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 0,4 kgk = 350 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

25 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 8 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 130 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 25 kgk = 8 kN/mc = 130 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 12 kN/m ir k₂ = 20 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 32,92 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·7,5) = 32,92 m

Atsakymas

s = 32,92 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 11,17 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9,81) = 6,167 m

Aukštis virš žemės

h_max = 5 + 6,167 = 11,17 m

Atsakymas

h_max = 11,17 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,146 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0) = 4,146 m/s²

Atsakymas

a = 4,146 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 7,843 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 68,67 N

m₁·g·sin θ = 4,146 N

μ·m₁·g·cos θ = 1,778 N

Sistemos pagreitis

a = (68,67 − 4,146 − 1,778)/8 = 7,843 m/s²

Atsakymas

a = 7,843 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 31,49 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·95/sin 70°) = 31,49 m/s

Atsakymas

v₀ = 31,49 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 9,307 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 13·sin 45° = 9,192 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 9,192²/(2·9,81) = 4,307 m

Aukštis virš žemės

H = 5 + 4,307 = 9,307 m

Atsakymas

H = 9,307 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 17,16 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·75) = 17,16 m/s

Atsakymas

v_max = 17,16 m/s (61,76 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 54,85 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 11² − 4·9,81·1,1 = 77,84 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,9·77,84/1,1 − 0,9·9,81 = 54,85 N

Atsakymas

T_top = 54,85 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 8,297 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 19,62·0,9397 = 18,44 N

F = μN = 0,15·18,44 = 2,766 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 2,766·3 = 8,297 J

Atsakymas

W_f = 8,297 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 9,905 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 39,24·(1,5 − 0,25·3,5) = 24,53 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 24,53 → x = √(2·24,53/5000) = 0,09905 m = 9,905 cm

Atsakymas

x = 9,905 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK/K = 33,33 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·8/3000 = 5,333 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·2000·8² = 64000 J

K_after = ½·3000·5,333² = 42667 J

Prarasta dalis

ΔK/K = 21333/64000 = 33,33 %

Atsakymas

ΔK/K = 33,33 %

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 21,18 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·8,5) = 11,55 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3300·11,55/1800 = 21,18 m/s

Atsakymas

v₁ = 21,18 m/s

(76,23 km/h)

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: R = 11,04 N

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Momentai šarnyro atžvilgiu

Paleidimo momentu ω = 0, todėl įcentrinio pagreičio nėra ir centras greitėja tiesiai žemyn.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·3) = 4,905 rad/s²

Vertikaliosios jėgos

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 4,5·(9,81 − 7,357) = 11,04 N

Atsakymas

R = 11,04 N

R = m·g/4, nepriklauso nuo ilgio.

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: a = 1,022 m/s²

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,6667·m·r²·(a/r) → f = 0,6667·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 10°/1,667 = 1,022 m/s²

Atsakymas

a = 1,022 m/s²

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 455,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 1100/150,8 = 7,295 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 2·16 = 32 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·7,295/0,032 = 455,9 N

Atsakymas

F_t = 455,9 N

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_c = 360 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·12 = 42

Viliso lygtis, kai vainikas nejudamas

Imkite n_r = 0 ir raskite vedžiklio greitį.

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −42/18

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·18/60 = 360 rpm

Atsakymas

n_c = 360 rpm

Vedžiklis sukasi ta pačia kryptimi kaip saulės krumpliaratis.

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 2,09 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,9/2π)² = 2,09 m

Atsakymas

L = 2,09 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 52,5 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(350/0,4) = 29,58 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,06·29,58² = 52,5 m/s²

Atsakymas

a_max = 52,5 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1453

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·25) = 894,4 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 130/894,4 = 0,1453

Atsakymas

ζ = 0,1453

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 5,694 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 20 = 32 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(32000/25) = 35,78 rad/s

f_n = 35,78/(2π) = 5,694 Hz

Atsakymas

f_n = 5,694 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics