Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

36 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 1,2 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 6 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 36 km/ht_r = 1,2 sa = −6 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 12 s greitėja 3 m/s² pagreičiu, tada 13 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 3,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 12 st₂ = 13 sa₃ = −3,5 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

40 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 35° kampą virš horizontalės, 140 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 40 kgF = 140 Nθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 35° rampa 10 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 10 m/sθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 30 m/s greičiu 20° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 41 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 30 m/sθ = 20°x = 41 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 31 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 4 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 31 m/sθ = 60°h_roof = 4 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 3 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią sukimosi dažnį n apsisukimais per minutę.

r = 3 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,4 kg rutuliukas ant lengvo 1,2 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 12 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 0,4 kgr = 1,2 mv_bottom = 12 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

5 kg kūnas nuslysta 20 m nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,35. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 5 kgθ = 40°μ = 0,35d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

2,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3,5 m ilgio juostą (μ = 0,3) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 4000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 2,5 kgh = 3,5 mL = 3,5 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

5 kg vežimėlis, judantis 10 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 2 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 19 m/s greičiu važiuojantis 1400 kg automobilis susiduria su į šiaurę 22 m/s greičiu važiuojančiu 1500 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų greitį v′ iškart po susidūrimo.

m₁ = 1400 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 22 m/s (N)

v′ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 3 kg masės ir 2,5 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir paleidžiamas iš rimties horizontalioje padėtyje. Prie jo laisvojo galo pritvirtintas mažas 4 kg masės rutuliukas. Trinties nepaisykite ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite laisvojo galo greitį v, kai strypas praeina vertikalią padėtį.

m = 3 kgL = 2,5 mm_ball = 4 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

plonas lankas, kurio masė 17 kg, be slydimo rieda 5,5 m/s greičiu. Raskite jo sukimosi kinetinę energiją E_rot.

m = 17 kgv = 5,5 m/sI = m·r²

E_rot = J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 160 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1450 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 500 N, laisvosios – 200 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 500 NT₂ = 200 N

P = kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1500 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (60 dantų). Krumpliaratis C (25 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (40 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1500 rpmA = 15B = 60C = 25D = 40

n_out = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

3,8 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 390 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 4 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 3 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 3,8 kgk = 390 N/mA = 4 cmx = 3 cm

v = m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 400 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 8 cm amplitude. Raskite jo kinetinę energiją K, kai jis yra 5 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 400 N/mA = 8 cmx = 5 cm

K = J

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

5 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 10 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 110 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 5 kgk = 10 kN/mc = 110 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 5 kN/m ir k₂ = 10 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 20,33 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 10·1,2 = 12 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·6) = 8,333 m

Iš viso

d = 12 + 8,333 = 20,33 m

Atsakymas

d = 20,33 m

2.Kinematika

Atsakymas: s = 869,1 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 3·12 = 36 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·3·12² = 216 m

s₂ = 36·13 = 468 m

s₃ = 36²/(2·3,5) = 185,1 m

Visas atstumas

s = 216 + 468 + 185,1 = 869,1 m

Atsakymas

s = 869,1 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,307 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 140·sin 35° = 312,1 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 114,7 − 62,42

a = 52,26/40 = 1,307 m/s²

Atsakymas

a = 1,307 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 6,548 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 35° + 0,25·cos 35°) = 7,636 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 10²/(2·7,636) = 6,548 m

Atsakymas

d = 6,548 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 4,548 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Laikas iki sienos

v_x = 30·cos 20° = 28,19 m/s

t = x/v_x = 41/28,19 = 1,454 s

Aukštis tuo momentu

y = 10,26·1,454 − ½·9,81·1,454² = 4,548 m

Atsakymas

y = 4,548 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 82,46 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 15,5 m/s, v_y = 26,85 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

4 = 26,85·t − 4,905·t²

t = (26,85 + √(26,85² − 2·9,81·4))/9,81 = 5,32 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 15,5·5,32 = 82,46 m

Atsakymas

x = 82,46 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: n = 24,42 rpm

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·3)) = 2,557 rad/s

Sukimosi dažnis

n = ω·60/(2π) = 24,42 rpm

Atsakymas

n = 24,42 rpm

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 28,38 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 12² − 4·9,81·1,2 = 96,91 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,4·96,91/1,2 − 0,4·9,81 = 28,38 N

Atsakymas

T_top = 28,38 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 263 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 49,05·0,766 = 37,57 N

F = μN = 0,35·37,57 = 13,15 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 13,15·20 = 263 J

Atsakymas

W_f = 263 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 17,33 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 24,53·(3,5 − 0,3·3,5) = 60,09 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 60,09 → x = √(2·60,09/4000) = 0,1733 m = 17,33 cm

Atsakymas

x = 17,33 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 14,29 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (5 − 2)/(5 + 2)·10 = 4,286 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 2)·10 = 14,29 m/s

Atsakymas

v′₂ = 14,29 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′ = 14,62 m/s

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1400·19 = 26600 kg·m/s

p_y = 1500·22 = 33000 kg·m/s

Nuolaužų greitis

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 42386/2900 = 14,62 m/s

Atsakymas

v′ = 14,62 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 7,345 m/s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Potencinės energijos sumažėjimas

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 3·9,81·1,25 + 4·9,81·2,5 = 134,9 J

Inercijos momentas šarnyro atžvilgiu

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 6,25 + 25 = 31,25 kg·m²

Energijos balansas

½·I_O·ω² = 134,9 → ω = √(2·134,9/31,25) = 2,938 rad/s

v = ω·L = 2,938·2,5 = 7,345 m/s

Atsakymas

v = 7,345 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: E_rot = 257,1 J

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Slenkamoji ir sukimosi dalys

E_trans = ½·m·v² = ½·17·5,5² = 257,1 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·257,1 = 257,1 J

Atsakymas

E_rot = 257,1 J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 3,644 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 12,15 m/s

Galia

P = (500 − 200)·12,15 = 3644 W = 3,644 kW

Atsakymas

P = 3,644 kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 234,4 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 1500·15/60 = 375 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 375·25/40 = 234,4 rpm

Atsakymas

n_out = 234,4 rpm

bendras perdavimo skaičius = 6,4 : 1

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,268 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(390/3,8) = 10,13 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 10,13·√(0,04² − 0,03²) = 0,268 m/s

Atsakymas

v = 0,268 m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: K = 0,78 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·400·0,08² = 1,28 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·400·0,05² = 0,5 J

Kinetinė energija

K = 1,28 − 0,5 = 0,78 J

Atsakymas

K = 0,78 J

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,246

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·5) = 447,2 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 110/447,2 = 0,246

Atsakymas

ζ = 0,246

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 8,717 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 10 = 15 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(15000/5) = 54,77 rad/s

f_n = 54,77/(2π) = 8,717 Hz

Atsakymas

f_n = 8,717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics