Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
50 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 1,4 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 7 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.
Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 17 m/s greičiu nuo stogo, esančio 25 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.
6 kg kūnas slysta žemyn nuokalne be trinties, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.
Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 90 N jėga traukia priekinę 1 kg kaladėlę; 8 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jungiamojo siūlo įtempimo jėgą T.
Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 16 m/s greičiu 35° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 10 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?
Kamuolys metamas 45° kampu į horizontą nuo 40 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.
Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 3,4 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią kampinį greitį ω rad/s.
1,6 kg rutuliukas ant 0,8 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 7 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.
1 kg kūnas nuslysta 13 m nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite darbą Wf, atliktą prieš trintį.
2 kg kaladėlė iš rimties būsenos 30° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 25 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 7 m aukštyn šlaitu.
15 kg sviedinys, horizontaliai judantis 39 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 13 kg skeveldra toliau juda pirmyn 64 m/s greičiu. Raskite 2 kg skeveldros greitį v′2 (teigiamas pradine kryptimi).
0,25 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 28 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 6 m/s greičiu. Sąlytis trunka 40 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.
11 kg masės blokas kabo ant lengvos virvės, apvyniotos ant skriemulio – vienalyčio vientiso 11,5 kg masės ir 0,4 m spindulio disko, besisukančio ant besitrinties horizontaliosios ašies. Blokas paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite virvės įtempimą T.
plonas lankas be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 20° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jis pradeda iš rimties. Per kiek laiko t jis nurieda 5,5 m nuožulnia plokštuma?
2,2 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 20; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 36. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 96 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T2 varomojo krumpliaračio velene.
Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (24 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (80 dantų). Krumpliaratis C (36 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 217,5 rpm greičiu. Kiek dantų ND turi turėti krumpliaratis D?
Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1,7 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 6,44 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.
2 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 420 N/m, atitraukiamas 14 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį amax.
25 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 50 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 1340 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.
20 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 30 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.
Atsakymas: d = 33,22 m
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Atsakymas: t = 4,579 s
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.
Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.
Atsakymas: a = 6,306 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.
Atsakymas: T = 80 N
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Kai abiejų kaladėlių μ vienodas, trintis išnyksta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Atsakymas: y = 4,147 m
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Prie sienos kamuolys dar kyla.
Atsakymas: t = 4,537 s
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
Išspręskite y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.
Atsakymas: ω = 2,193 rad/s
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Atsakymas: T = 113,7 N
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.
Atsakymas: Wf = 26,12 J
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Atsakymas: v = 8,405 m/s
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Atsakymas: v′2 = −123,5 m/s
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Minuso ženklas reiškia, kad antroji skeveldra lekia atgal.
Atsakymas: J = 8,5 N·s
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Atsakymas: T = 37,04 N
Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.
Atsakymas: t = 2,561 s
Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.
Atsakymas: T2 = 12,52 N·m
Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.
Atsakymas: ND = 72
Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.
Atsakymas: g = 1,618 m/s²
Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².
Atsakymas: amax = 29,4 m/s²
Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².
Atsakymas: ζ = 0,5993
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.
Atsakymas: fn = 12,83 Hz
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics