Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

50 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 50 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 1,7 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 1,7 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

6 kg ir 5 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite krovinių pagreitį a.

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1,5 kg kaladėlė ant 30° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 9 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 9 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 55° kampu virš horizontalės ir nukrinta 35 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 55°R = 35 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 20 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 5 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 20 m/sθ = 60°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 20 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 20 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,7 kg rutuliukas ant 1,3 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 5 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,7 kgr = 1,3 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 1000 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,05 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 6 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,05 kgk = 1000 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

0,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3,5 m ilgio juostą (μ = 0,3) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 0,5 kgh = 3,5 mL = 3,5 mμ = 0,3k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1700 kg automobilis, judantis 12 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 900 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 1700 kgv₁ = 12 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 14 m/s greičiu važiuojantis 1200 kg automobilis susiduria su į šiaurę 16 m/s greičiu važiuojančiu 1100 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų greitį v′ iškart po susidūrimo.

m₁ = 1200 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 16 m/s (N)

v′ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 6 kg masės ir 0,9 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir paleidžiamas iš rimties horizontalioje padėtyje. Trinties nepaisykite ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite laisvojo galo greitį v, kai strypas praeina vertikalią padėtį.

m = 6 kgL = 0,9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Žmogus stovi ant besitrinties sukamosios platformos ir kiekvienoje rankoje laiko po 1,5 kg hantelį, 0,65 m nuo ašies. Vien žmogaus ir platformos inercijos momentas ašies atžvilgiu yra 5 kg·m². Jie sukasi 35 rpm, tada hantelius pritraukia iki 0,3 m nuo ašies. Hantelius laikykite taškinėmis masėmis. Raskite naują greitį n₂ rpm.

I₀ = 5 kg·m²m = 2 × 1,5 kgr₁ = 0,65 mr₂ = 0,3 mn₁ = 35 rpm

n₂ = rpm

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,1 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 36; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 50. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 98 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 1,1 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 36N₂ = 50η = 98%

T₂ = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 80 mm varantįjį skriemulį, sukamą 720 rpm, su 200 mm skriemuliu; ašys nutolusios 800 mm. Trinties koeficientas yra 0,25, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 2000 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 200 mmC = 800 mmμ = 0,25T₁ = 2000 N

P = kW

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,2 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 470 N/m, atitraukiamas 18 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 0,2 kgk = 470 N/mA = 18 cm

v_max = m/s

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

250 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 50 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,3. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 250 kgk = 50 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 10 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 5 kN/m ir k₂ = 100 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 17,54 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·5,5) = 17,54 m

Atsakymas

s = 17,54 m

2.Kinematika

Atsakymas: d = 13,53 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(1,7 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 583,1 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·583,1))/(2·4,905) = 1,661 s

Gylis

d = ½·9,81·1,661² = 13,53 m

Atsakymas

d = 13,53 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 0,8918 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (6 − 5)·9,81/(6 + 5) = 0,8918 m/s²

Atsakymas

a = 0,8918 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 7,586 m/s²

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 88,29 N

m₁·g·sin θ = 7,357 N

μ·m₁·g·cos θ = 1,274 N

Sistemos pagreitis

a = (88,29 − 7,357 − 1,274)/10,5 = 7,586 m/s²

Atsakymas

a = 7,586 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 19,12 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·35/sin 110°) = 19,12 m/s

Atsakymas

v₀ = 19,12 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 32,14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 10 m/s, v_y = 17,32 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

5 = 17,32·t − 4,905·t²

t = (17,32 + √(17,32² − 2·9,81·5))/9,81 = 3,214 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 10·3,214 = 32,14 m

Atsakymas

x = 32,14 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 9,905 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·20) = 9,905 m/s

Atsakymas

v_max = 9,905 m/s (35,66 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 20,33 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,7·9,81 + 0,7·5²/1,3 = 6,867 + 13,46 = 20,33 N

Atsakymas

T = 20,33 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 3,67 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·1000·0,06² = 1,8 J

Aukštis

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 1,8/0,4905 = 3,67 m

Atsakymas

h = 3,67 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 21,92 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 4,905·(3,5 − 0,3·3,5) = 12,02 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 12,02 → x = √(2·12,02/500) = 0,2192 m = 21,92 cm

Atsakymas

x = 21,92 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 42369 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·12/2600 = 7,846 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·1700·12² = 122400 J

K_after = ½·2600·7,846² = 80031 J

Prarasta energija

ΔK = 122400 − 80031 = 42369 J

Atsakymas

ΔK = 42369 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′ = 10,58 m/s

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1200·14 = 16800 kg·m/s

p_y = 1100·16 = 17600 kg·m/s

Nuolaužų greitis

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 24331/2300 = 10,58 m/s

Atsakymas

v′ = 10,58 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 5,147 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Potencinės energijos sumažėjimas

m·g·L/2 = 6·9,81·0,45 = 26,49 J

Inercijos momentas šarnyro atžvilgiu

I_O = m·L²/3 = 6·0,9²/3 = 1,62 kg·m²

Energijos balansas

½·I_O·ω² = 26,49 → ω = √(2·26,49/1,62) = 5,718 rad/s

v = ω·L = 5,718·0,9 = 5,147 m/s

Atsakymas

v = 5,147 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: n₂ = 41,62 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Inercijos momentai

I₁ = 5 + 2·1,5·0,65² = 6,268 kg·m²

I₂ = 5 + 2·1,5·0,3² = 5,27 kg·m²

Judesio kiekio momento tvermė

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 35·6,268/5,27 = 41,62 rpm

Atsakymas

n₂ = 41,62 rpm

Kinetinė energija padidėja: papildoma energija atsiranda iš žmogaus darbo pritraukiant hantelius.

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 4,93 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/303,7 = 3,622 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 3,622·50/36·0,98 = 4,93 N·m

Atsakymas

T₂ = 4,93 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 3,177 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Apkabos kampas

θ = 2,991 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,7479 = 2,112, T₂ = 2000/2,112 = 946,8 N

Galia

P = (2000 − 946,8)·3,016 = 3,177 kW

Atsakymas

P = 3,177 kW

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,2485 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1/2π)² = 0,2485 m

Atsakymas

L = 0,2485 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 8,726 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(470/0,2) = 48,48 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,18·48,48 = 8,726 m/s

Atsakymas

v_max = 8,726 m/s

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 2,147 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(50000/250) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,3²) = 2,147 Hz

Atsakymas

f_d = 2,147 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,151 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 5 + 100 = 105 kN/m

k_eq = 105·10/(105 + 10) = 9,13 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(9130/50) = 13,51 rad/s

f_n = 13,51/(2π) = 2,151 Hz

Atsakymas

f_n = 2,151 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics