Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

60 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 1,1 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 4,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 60 km/ht_r = 1,1 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 1 s suteikia jai pastovų 28 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią raketos pasiekiamą aukštį h_max.

a = 28 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

10 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 10 kgθ = 45°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 20° rampa 8 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 8 m/sθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 36 m/s greičiu 30° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 80 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 36 m/sθ = 30°x = 80 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 20 m/s greičiu 35° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 15 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 20 m/sθ = 35°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 35 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 35 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 0,6 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 0,6 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Automobilis, važiuojantis lygiu keliu 30 km/h greičiu, staigiai stabdo ir užblokuotais ratais slysta iki sustojimo. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,5. Raskite stabdymo kelią d.

v = 30 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

10.Darbas ir energijaSunkus

3 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,4). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 4 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 0,5 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgμ = 0,4d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

4 kg vežimėlis, judantis 4 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 4 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,25 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 12 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 8 m/s greičiu. Sąlytis trunka 20 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,25 kgv_in = 12 m/sv_out = 8 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

8 kg masės blokas kabo ant lengvos virvės, apvyniotos ant skriemulio – vienalyčio vientiso 4,5 kg masės ir 0,4 m spindulio disko, besisukančio ant besitrinties horizontaliosios ašies. Blokas paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite bloko greitį v, kai jis nukrito 2,5 m.

m = 8 kgM = 4,5 kgR = 0,4 mg = 9,81 m/s²h = 2,5 m

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis plonas 8,5 kg masės ir 2 m ilgio strypas ramiai kabo ant besitrinties šarnyro viršutiniame gale. 50 g masės kulka, horizontaliai lekianti 440 m/s greičiu, pataiko į strypą 1,2 m žemiau šarnyro ir įstringa. Raskite strypo kampinį greitį ω iškart po smūgio.

M = 8,5 kgL = 2 mm = 50 gv = 440 m/sd = 1,2 m

ω = rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

3 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 24 dantų, kurio modulis 5 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 3 kWn = 1450 rpmN₁ = 24m = 5 mm

F_t = N

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

5,5 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (12 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (30 dantų). Krumpliaratis C (15 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (60 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 97%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 5,5 kWn_in = 2900 rpmA = 12B = 30C = 15D = 60η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

1,7 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 470 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 14 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 12 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 1,7 kgk = 470 N/mA = 14 cmx = 12 cm

v = m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,8 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 310 N/m, atitraukiamas 19 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 3,8 kgk = 310 N/mA = 19 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

20 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 2 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 40 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 20 kgk = 2 kN/mc = 40 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 20 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 50 kN/m ir k₂ = 10 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 49,2 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 16,67·1,1 = 18,33 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·4,5) = 30,86 m

Iš viso

d = 18,33 + 30,86 = 49,2 m

Atsakymas

d = 49,2 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 53,96 m

Varomoji fazė

v₁ = 28·1 = 28 m/s

h₁ = ½·28·1² = 14 m

Laisvasis skrydis aukštyn

Viršuje greitis lygus nuliui.

Δh = v₁²/(2g) = 28²/(2·9,81) = 39,96 m

h_max = 14 + 39,96 = 53,96 m

Atsakymas

h_max = 53,96 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,549 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 45° − 0,2·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1414) = 5,549 m/s²

Atsakymas

a = 5,549 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 5,228 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 20° + 0,3·cos 20°) = 6,121 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·6,121) = 5,228 m

Atsakymas

d = 5,228 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 13,89 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Laikas iki sienos

v_x = 36·cos 30° = 31,18 m/s

t = x/v_x = 80/31,18 = 2,566 s

Aukštis tuo momentu

y = 18·2,566 − ½·9,81·2,566² = 13,89 m

Atsakymas

y = 13,89 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 21,71 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 20·sin 35° = 11,47 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 11,47²/(2·9,81) = 6,707 m

Aukštis virš žemės

H = 15 + 6,707 = 21,71 m

Atsakymas

H = 21,71 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 14,35 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·35) = 14,35 m/s

Atsakymas

v_max = 14,35 m/s (51,67 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 2,426 m/s

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,6) = 2,426 m/s

Atsakymas

v_min = 2,426 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 7,079 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Greitis pagrindiniais vienetais

v = 30/3,6 = 8,333 m/s

Energijos balansas

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8,333²/(2·0,5·9,81) = 7,079 m

Atsakymas

d = 7,079 m

Padvigubinus greitį, stabdymo kelias pailgėja keturis kartus.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 1,981 m/s

Išsiskyrusi ir prarasta energija

m₂g·d = 39,24·0,5 = 19,62 J

μ·m₁g·d = 0,4·29,43·0,5 = 5,886 J

Abiejų kaladėlių kinetinė energija

½(m₁ + m₂)v² = 13,73 → v = √(2·13,73/7) = 1,981 m/s

Atsakymas

v = 1,981 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 1,818 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (4 − 1,5)/(4 + 1,5)·4 = 1,818 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1,5)·4 = 5,818 m/s

Atsakymas

v′₁ = 1,818 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 5 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,25·(8 + 12) = 5 N·s

Atsakymas

J = 5 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 6,187 m/s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Blokas ir skriemulys

kaladėlė: m·g − T = m·a

skriemulys: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Pagreitis

a = m·g/(m + M/2) = 8·9,81/(8 + 2,25) = 7,657 m/s²

Greitis po kritimo

v = √(2·a·h) = √(2·7,657·2,5) = 6,187 m/s

Atsakymas

v = 6,187 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 2,315 rad/s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentas po smūgio

I = M·L²/3 + m·d² = 8,5·2²/3 + 0,05·1,2² = 11,41 kg·m²

Judesio kiekio momentas šarnyro atžvilgiu

Šarnyro jėga eina per šarnyrą, todėl smūgio metu ten momento neturi.

m·v·d = I·ω → ω = 0,05·440·1,2/11,41 = 2,315 rad/s

Atsakymas

ω = 2,315 rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 329,3 N

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 5·24 = 120 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·19,76/0,12 = 329,3 N

Atsakymas

F_t = 329,3 N

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 170,4 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 2900·(12/30)·(15/60) = 290 rpm

ω_out = 2π·290/60 = 30,37 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 5500·0,97² = 5175 W

T_out = P_out/ω_out = 5175/30,37 = 170,4 N·m

Atsakymas

T_out = 170,4 N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 1,199 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(470/1,7) = 16,63 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 16,63·√(0,14² − 0,12²) = 1,199 m/s

Atsakymas

v = 1,199 m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 15,5 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(310/3,8) = 9,032 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,19·9,032² = 15,5 m/s²

Atsakymas

a_max = 15,5 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·20) = 400 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 40/400 = 0,1

Atsakymas

ζ = 0,1

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,757 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 50 + 10 = 60 kN/m

k_eq = 60·20/(60 + 20) = 15 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(15000/50) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Atsakymas

f_n = 2,757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics