Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

100 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 1,4 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 4 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 100 km/ht_r = 1,4 sa = −4 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 10 s greitėja 1 m/s² pagreičiu, tada 19 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 4,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 10 st₂ = 19 sa₃ = −4,5 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

12 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 20° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 12 kgθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 25° rampa 8,5 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 8,5 m/sθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 60° kampu virš horizontalės ir nukrinta 130 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 60°R = 130 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 35 m/s greičiu 45° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 50 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 35 m/sθ = 45°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 75 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 75 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

3,5 kg vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas 29,4 m aukštyje ant bėgio be trinties ir pervažiuoja vertikalią 6 m spindulio kilpą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N_bottom, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos apačioje.

m = 3,5 kgh = 29,4 mR = 6 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

5 kg kūnas nuslysta 9 m nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,35. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 5 kgθ = 45°μ = 0,35d = 9 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,4). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 1 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 3 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgμ = 0,4d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

17 kg sviedinys, horizontaliai judantis 20 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 4 kg skeveldra toliau juda pirmyn 56 m/s greičiu. Raskite 13 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 17 kgu = 20 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 56 m/sm₂ = 13 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

5 g kulka horizontaliai įšaunama į 5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 0,5 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 10° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 5 gM = 5 kgL = 0,5 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 10 kg masės ir 1,9 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir paleidžiamas iš rimties horizontalioje padėtyje. Trinties nepaisykite ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite strypo kampinį greitį ω, kai jis praeina vertikalią padėtį.

m = 10 kgL = 1,9 mg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas rutulys be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 40° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jis pradeda iš rimties. Per kiek laiko t jis nurieda 9,5 m nuožulnia plokštuma?

θ = 40°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²s = 9,5 m

t = s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

5,5 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 50; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 80. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 98 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 5,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 50N₂ = 80η = 98%

T₂ = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

1,5 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (36 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (72 dantų). Krumpliaratis C (18 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (30 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 98%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 1,5 kWn_in = 1450 rpmA = 36B = 72C = 18D = 30η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

3,2 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 220 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 7 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 2 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 3,2 kgk = 220 N/mA = 7 cmx = 2 cm

v = m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,6 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 170 N/m, atitraukiamas 4 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 3,6 kgk = 170 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

20 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 40 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 90 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 20 kgk = 40 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 12 kN/m ir k₂ = 15 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 135,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 27,78·1,4 = 38,89 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·4) = 96,45 m

Iš viso

d = 38,89 + 96,45 = 135,3 m

Atsakymas

d = 135,3 m

2.Kinematika

Atsakymas: s = 251,1 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 1·10 = 10 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·1·10² = 50 m

s₂ = 10·19 = 190 m

s₃ = 10²/(2·4,5) = 11,11 m

Visas atstumas

s = 50 + 190 + 11,11 = 251,1 m

Atsakymas

s = 251,1 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 0,5897 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 20° − 0,3·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,2819) = 0,5897 m/s²

Atsakymas

a = 0,5897 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 6,593 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 25° + 0,15·cos 25°) = 5,48 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 8,5²/(2·5,48) = 6,593 m

Atsakymas

d = 6,593 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 38,37 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·130/sin 120°) = 38,37 m/s

Atsakymas

v₀ = 38,37 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 81,22 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 35·sin 45° = 24,75 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 24,75²/(2·9,81) = 31,22 m

Aukštis virš žemės

H = 50 + 31,22 = 81,22 m

Atsakymas

H = 81,22 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 22,69 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·75) = 22,69 m/s

Atsakymas

v_max = 22,69 m/s (81,7 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N_bottom = 370,8 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Greitis iš energijos tvermės

v² = 2·9,81·29,4 = 576,8 m²/s²

Jėgos

Teigiama kryptis į centrą.

N = m·v²/R + m·g = 3,5·576,8/6 + 34,34 = 370,8 N

Atsakymas

N_bottom = 370,8 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 109,3 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 49,05·0,7071 = 34,68 N

F = μN = 0,35·34,68 = 12,14 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 12,14·9 = 109,3 J

Atsakymas

W_f = 109,3 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 1,981 m/s

Išsiskyrusi ir prarasta energija

m₂g·d = 9,81·3 = 29,43 J

μ·m₁g·d = 0,4·19,62·3 = 23,54 J

Abiejų kaladėlių kinetinė energija

½(m₁ + m₂)v² = 5,886 → v = √(2·5,886/3) = 1,981 m/s

Atsakymas

v = 1,981 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 8,923 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 17·20 = 340 kg·m/s

Judesio kiekis po

340 = 4·56 + 13·v′₂

v′₂ = (340 − 224)/13 = 8,923 m/s

Atsakymas

v′₂ = 8,923 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 386,4 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 0,5·(1 − cos 10°) = 0,007596 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,007596) = 0,3861 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 5,005·0,3861/0,005 = 386,4 m/s

Atsakymas

v = 386,4 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 3,936 rad/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Potencinės energijos sumažėjimas

m·g·L/2 = 10·9,81·0,95 = 93,2 J

Inercijos momentas šarnyro atžvilgiu

I_O = m·L²/3 = 10·1,9²/3 = 12,03 kg·m²

Energijos balansas

½·I_O·ω² = 93,2 → ω = √(2·93,2/12,03) = 3,936 rad/s

Atsakymas

ω = 3,936 rad/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: t = 2,054 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 40°/1,4 = 4,504 m/s²

Laikas

s = ½·a·t² → t = √(2·9,5/4,504) = 2,054 s

Atsakymas

t = 2,054 s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 56,8 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/151,8 = 36,22 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 36,22·80/50·0,98 = 56,8 N·m

Atsakymas

T₂ = 56,8 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 31,62 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 1450·(36/72)·(18/30) = 435 rpm

ω_out = 2π·435/60 = 45,55 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 1500·0,98² = 1441 W

T_out = P_out/ω_out = 1441/45,55 = 31,62 N·m

Atsakymas

T_out = 31,62 N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,5562 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(220/3,2) = 8,292 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 8,292·√(0,07² − 0,02²) = 0,5562 m/s

Atsakymas

v = 0,5562 m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,2749 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(170/3,6) = 6,872 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,04·6,872 = 0,2749 m/s

Atsakymas

v_max = 0,2749 m/s

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,05031

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·20) = 1789 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 90/1789 = 0,05031

Atsakymas

ζ = 0,05031

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 27 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 15 = 27 kN/m

Atsakymas

k_eq = 27 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics