Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

80 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 3,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 80 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 30 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 18 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y virš žemės jie susitinka?

H = 30 mv_0B = 18 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

30 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 40° kampą virš horizontalės, 160 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 30 kgF = 160 Nθ = 40°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

2 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 34 m/s greičiu ir turi nukristi 60 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 34 m/sR = 60 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 34 m/s greičiu 50° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 16 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 34 m/sθ = 50°h_roof = 16 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 20 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 20 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,5 kg rutuliukas ant lengvo 0,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 6 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,5 kgr = 0,5 mv_bottom = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

1200 kg automobilis važiuoja į 6° šlaitą pastoviu 72 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 450 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1200 kgθ = 6°F_r = 450 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

20° šlaito apačioje esanti 5000 N/m standumo spyruoklė suspaudžiama 20 cm prie 2 kg kaladėlės ir atleidžiama. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir šlaito koeficientas 0,15. Kokį atstumą d aukštyn šlaitu nuo paleidimo taško kaladėlė nuslenka, kol sustoja? (Nepaisykite trumpo atstumo, kuriame stumia spyruoklė, t. y. trintį ir sunkio jėgą imkite visame atstume d.)

m = 2 kgk = 5000 N/mx = 20 cmθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

8 kg sviedinys, horizontaliai judantis 23 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 7 kg skeveldra toliau juda pirmyn 58 m/s greičiu. Raskite 1 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 8 kgu = 23 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 58 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 8 m/s greičiu važiuojantis 1800 kg automobilis susiduria su į šiaurę 16 m/s greičiu važiuojančiu 1100 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų judėjimo kryptį θ iškart po susidūrimo, matuojant nuo rytų krypties į šiaurę.

m₁ = 1800 kgv₁ = 8 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 9,5 kg masės ir 2,6 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir laikomas horizontaliai. Jis paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite laisvojo galo pagreitį a_tip iškart po paleidimo.

m = 9,5 kgL = 2,6 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas cilindras pradeda judėti iš rimties ir be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 25° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jo spindulys yra 0,3 m. Raskite jo kampinį greitį ω, kai jis nuriedėjo 8 m išilgai nuožulnios plokštumos.

θ = 25°s = 8 mI = ½·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,3 m

ω = rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

0,75 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 30; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 40. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 97 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 0,75 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 30N₂ = 40η = 97%

T₂ = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (12 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (72 dantų). Krumpliaratis C (24 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (48 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1450 rpmA = 12B = 72C = 24D = 48

n_out = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,3 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1,3 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,4 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 290 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią krovinio greitį v_max.

m = 0,4 kgk = 290 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

200 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 20 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 800 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 200 kgk = 20 kN/mc = 800 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 5 kN/m, apatinės k₂ = 5 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 70,55 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·3,5) = 70,55 m

Atsakymas

s = 70,55 m

2.Kinematika

Atsakymas: y = 16,38 m

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

30 − ½g·t² = 18·t − ½g·t² → t = 30/18 = 1,667 s

Susitikimo aukštis

y = 18·1,667 − ½·9,81·1,667² = 16,38 m

Atsakymas

y = 16,38 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,533 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 160·sin 40° = 191,5 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 122,6 − 76,58

a = 45,99/30 = 1,533 m/s²

Atsakymas

a = 1,533 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 15,7 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 3,924)/6 = 5,886 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·5,886 + 3,924 = 15,7 N

Atsakymas

T = 15,7 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 15,3 °

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·60/34² = 0,5092

Kampas

2θ = 30,61° → θ = 15,3°

Atsakymas

θ = 15,3°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 74,7°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 100,6 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 21,85 m/s, v_y = 26,05 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

16 = 26,05·t − 4,905·t²

t = (26,05 + √(26,05² − 2·9,81·16))/9,81 = 4,601 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 21,85·4,601 = 100,6 m

Atsakymas

x = 100,6 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 12,53 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·20) = 12,53 m/s

Atsakymas

v_max = 12,53 m/s (45,1 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 34,42 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 6² − 4·9,81·0,5 = 16,38 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,5·16,38/0,5 − 1,5·9,81 = 34,42 N

Atsakymas

T_top = 34,42 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 33,61 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 6° = 1231 N

F = 1231 + 450 = 1681 N

Galia

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 1681·20 = 33610 W = 33,61 kW

Atsakymas

P = 33,61 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 10,55 m

Spyruoklės energija

x = 20 cm = 0,2 m

½kx² = ½·5000·0,2² = 100 J

Energijos balansas nuokalne

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 100/(19,62·(0,342 + 0,15·0,9397)) = 10,55 m

Atsakymas

d = 10,55 m

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = −222 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 8·23 = 184 kg·m/s

Judesio kiekis po

184 = 7·58 + 1·v′₂

v′₂ = (184 − 406)/1 = −222 m/s

Atsakymas

v′₂ = −222 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad antroji skeveldra lekia atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: θ = 50,71 °

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1800·8 = 14400 kg·m/s

p_y = 1100·16 = 17600 kg·m/s

Kryptis

tan θ = p_y/p_x = 1,222 → θ = 50,71°

Atsakymas

θ = 50,71°

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: a_tip = 14,71 m/s²

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Momentai šarnyro atžvilgiu

Paleidimo momentu ω = 0, todėl įcentrinio pagreičio nėra ir centras greitėja tiesiai žemyn.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,6) = 5,66 rad/s²

Laisvojo galo pagreitis

a_tip = α·L = 5,66·2,6 = 14,71 m/s²

Atsakymas

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g bet kokiam ilgiui: laisvasis galas krenta greičiau nei paleistas akmuo.

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 22,17 rad/s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Nukritimo aukštis

h = s·sin θ = 8·sin 25° = 3,381 m

Energijos balansas riedant

Riedėjimas be slydimo: ω = v/r, o trintis sąlyčio taške darbo neatlieka.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,5)

v = √(2·9,81·3,381/1,5) = 6,65 m/s

ω = v/r = 6,65/0,3 = 22,17 rad/s

Atsakymas

ω = 22,17 rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 6,175 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/157,1 = 4,775 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 4,775·40/30·0,97 = 6,175 N·m

Atsakymas

T₂ = 6,175 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 120,8 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 1450·12/72 = 241,7 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 241,7·24/48 = 120,8 rpm

Atsakymas

n_out = 120,8 rpm

bendras perdavimo skaičius = 12 : 1

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,4199 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,3/2π)² = 0,4199 m

Atsakymas

L = 0,4199 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,3643 m/s

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 0,4·9,81/290 = 0,01353 m = A

Didžiausias greitis

Greitis didžiausias pusiausvyros padėtyje.

ω = √(290/0,4) = 26,93 rad/s

v_max = A·ω = 0,01353·26,93 = 0,3643 m/s

Atsakymas

v_max = 0,3643 m/s

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,2

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·200) = 4000 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 800/4000 = 0,2

Atsakymas

ζ = 0,2

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,516 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/5 → k_eq = 5·5/(5 + 5) = 2,5 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(2500/10) = 15,81 rad/s

f_n = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Atsakymas

f_n = 2,516 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics