Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

45 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 4 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 45 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 35 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 30 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y virš žemės jie susitinka?

H = 35 mv_0B = 30 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

25 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 40° kampą virš horizontalės, 190 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 25 kgF = 190 Nθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

9 kg kaladėlė ant 35° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 8,5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 9 kgm₂ = 8,5 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 26 m/s greičiu 30° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 42 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 26 m/sθ = 30°x = 42 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 33 m/s greičiu 35° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 55 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 33 m/sθ = 35°h = 55 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1,4 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 40° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vieno apsisukimo trukmę T.

L = 1,4 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,6 kg rutuliukas ant 0,9 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 6 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,6 kgr = 0,9 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,5 kg kūnas nuslysta 9 m nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,3. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 0,5 kgθ = 35°μ = 0,3d = 9 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 2 m ilgio juostą (μ = 0,25) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 4000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 5 kgh = 1,5 mL = 2 mμ = 0,25k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

5 kg vežimėlis, judantis 6 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 4 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

12 g kulka horizontaliai įšaunama į 2 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1,7 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 25° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 12 gM = 2 kgL = 1,7 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

5 kg masės blokas kabo ant lengvos virvės, apvyniotos ant skriemulio – vienalyčio vientiso 13,5 kg masės ir 0,4 m spindulio disko, besisukančio ant besitrinties horizontaliosios ašies. Blokas paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite bloko greitį v, kai jis nukrito 1 m.

m = 5 kgM = 13,5 kgR = 0,4 mg = 9,81 m/s²h = 1 m

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

plonas lankas pradeda judėti iš rimties ir be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 10° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jo spindulys yra 0,15 m. Raskite jo kampinį greitį ω, kai jis nuriedėjo 1,5 m išilgai nuožulnios plokštumos.

θ = 10°s = 1,5 mI = m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,15 m

ω = rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

200 mm skriemulys sukasi 960 rpm ir diržu suka 400 mm skriemulį, slydimas 1 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 960 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 400 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (16 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1500 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (60 dantų). Krumpliaratis C (18 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 100 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 1500 rpmA = 16B = 60C = 18n_out = 100 rpm

N_D =

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,4 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

12 g kulka, lekianti 500 m/s greičiu, pataiko į 1 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 1500 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 12 gv = 500 m/sM = 1 kgk = 1500 N/m

A = cm

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

50 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 5 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,6. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 50 kgk = 5 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 25 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 19,53 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·4) = 19,53 m

Atsakymas

s = 19,53 m

2.Kinematika

Atsakymas: y = 28,32 m

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

35 − ½g·t² = 30·t − ½g·t² → t = 35/30 = 1,167 s

Susitikimo aukštis

y = 30·1,167 − ½·9,81·1,167² = 28,32 m

Atsakymas

y = 28,32 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,837 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 190·sin 40° = 123,1 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 145,5 − 24,62

a = 120,9/25 = 4,837 m/s²

Atsakymas

a = 4,837 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,045 m/s²

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 83,39 N

m₁·g·sin θ = 50,64 N

μ·m₁·g·cos θ = 14,46 N

Sistemos pagreitis

a = (83,39 − 50,64 − 14,46)/17,5 = 1,045 m/s²

Atsakymas

a = 1,045 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 7,183 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Laikas iki sienos

v_x = 26·cos 30° = 22,52 m/s

t = x/v_x = 42/22,52 = 1,865 s

Aukštis tuo momentu

y = 13·1,865 − ½·9,81·1,865² = 7,183 m

Atsakymas

y = 7,183 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 73,26 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 33·sin 35° = 18,93 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 18,93²/(2·9,81) = 18,26 m

Aukštis virš žemės

H = 55 + 18,26 = 73,26 m

Atsakymas

H = 73,26 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 2,077 s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1,4·sin 40° = 0,8999 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,8999·9,81·tan 40°) = 2,722 m/s

Periodas

T = 2π·r/v = 2π·0,8999/2,722 = 2,077 s

Atsakymas

T = 2,077 s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 29,89 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,6·9,81 + 0,6·6²/0,9 = 5,886 + 24 = 29,89 N

Atsakymas

T = 29,89 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 10,85 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 4,905·0,8192 = 4,018 N

F = μN = 0,3·4,018 = 1,205 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 1,205·9 = 10,85 J

Atsakymas

W_f = 10,85 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,429 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 49,05·(1,5 − 0,25·2) = 49,05 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Atsakymas

v = 4,429 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 6,667 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·6 = 0,6667 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·6 = 6,667 m/s

Atsakymas

v′₂ = 6,667 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 296,4 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 1,7·(1 − cos 25°) = 0,1593 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,1593) = 1,768 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 2,012·1,768/0,012 = 296,4 m/s

Atsakymas

v = 296,4 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 2,889 m/s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Blokas ir skriemulys

kaladėlė: m·g − T = m·a

skriemulys: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Pagreitis

a = m·g/(m + M/2) = 5·9,81/(5 + 6,75) = 4,174 m/s²

Greitis po kritimo

v = √(2·a·h) = √(2·4,174·1) = 2,889 m/s

Atsakymas

v = 2,889 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 10,66 rad/s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Nukritimo aukštis

h = s·sin θ = 1,5·sin 10° = 0,2605 m

Energijos balansas riedant

Riedėjimas be slydimo: ω = v/r, o trintis sąlyčio taške darbo neatlieka.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·0,2605/2) = 1,599 m/s

ω = v/r = 1,599/0,15 = 10,66 rad/s

Atsakymas

ω = 10,66 rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 475,2 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

960·200/400 = 480 rpm

Su slydimu

n₂ = 480·0,99 = 475,2 rpm

Atsakymas

n₂ = 475,2 rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 72

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 1500·16/60 = 400 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 18·400/100 = 72

Atsakymas

N_D = 72

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,487 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,4/2π)² = 0,487 m

Atsakymas

L = 0,487 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 15,4 cm

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,012·500/1,012 = 5,929 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/1,012) = 38,5 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 5,929/38,5 = 0,154 m = 15,4 cm

Atsakymas

A = 15,4 cm

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 1,273 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(5000/50) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,6²) = 1,273 Hz

Atsakymas

f_d = 1,273 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 16,69 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 25 = 55 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(55000/5) = 104,9 rad/s

f_n = 104,9/(2π) = 16,69 Hz

Atsakymas

f_n = 16,69 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics