Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

50 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 50 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 11 s greitėja 1 m/s² pagreičiu, tada 30 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 2 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą kelionės trukmę t.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 11 st₂ = 30 sa₃ = −2 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

14 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 14 kgθ = 45°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

4 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 4 kgm₂ = 4 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 40 m/s greičiu ir turi nukristi 55 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 40 m/sR = 55 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 24 m/s greičiu 65° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 9 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 24 m/sθ = 65°h_roof = 9 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 105 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 105 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 1,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 2000 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,1 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 2 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,1 kgk = 2000 N/mx = 2 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 8 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 2 m spindulio kilpą. Raskite vežimėlio greitį v kilpos viršuje.

m = 10 kgh = 8 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

12 g kulka horizontaliai įšaunama į 2 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 3 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 12 gM = 2 kgh = 3 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,55 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 13 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 20 m/s greičiu. Sąlytis trunka 10 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,55 kgv_in = 13 m/sv_out = 20 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

1,5 kg masės blokas kabo ant lengvos virvės, apvyniotos ant skriemulio – vienalyčio vientiso 1 kg masės ir 0,35 m spindulio disko, besisukančio ant besitrinties horizontaliosios ašies. Blokas paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite bloko pagreitį a.

m = 1,5 kgM = 1 kgR = 0,35 mg = 9,81 m/s²

a = m/s²

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

tuščiaviduris rutulys, kurio masė 7 kg, be slydimo rieda 7 m/s greičiu. Raskite jo visą kinetinę energiją E_k.

m = 7 kgv = 7 m/sI = (2/3)·m·r²

E_k = J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Du lygiagretūs velenai yra 90 mm atstumu vienas nuo kito. Juos reikia sujungti cilindrinių tiesiadančių krumpliaračių pora, kurios modulis 2 mm, o greičio sumažinimas 5 : 1. Kiek dantų N₂ turi turėti krumpliaratis?

a = 90 mmm = 2 mmi = 5

N₂ =

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (18 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 3000 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (30 dantų). Krumpliaratis C (48 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (50 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 3000 rpmA = 18B = 30C = 48D = 50

n_out = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 0,7 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 1,57 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 0,7 mT = 1,57 s

g = m/s²

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,4 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 70 N/m, atitraukiamas 19 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 2,4 kgk = 70 N/mA = 19 cm

v_max = m/s

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

40 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 50 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 280 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 40 kgk = 50 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 12 kN/m, apatinės k₂ = 5 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 19,29 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·5) = 19,29 m

Atsakymas

s = 19,29 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 46,5 s

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 1·11 = 11 m/s

Stabdymo trukmė

t₃ = v/a₃ = 11/2 = 5,5 s

Bendra trukmė

t = 11 + 30 + 5,5 = 46,5 s

Atsakymas

t = 46,5 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,203 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 45° − 0,25·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1768) = 5,203 m/s²

Atsakymas

a = 5,203 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,924 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 7,848)/8 = 3,924 m/s²

Atsakymas

a = 3,924 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 9,854 °

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·55/40² = 0,3372

Kampas

2θ = 19,71° → θ = 9,854°

Atsakymas

θ = 9,854°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 80,15°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 40,29 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 10,14 m/s, v_y = 21,75 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

9 = 21,75·t − 4,905·t²

t = (21,75 + √(21,75² − 2·9,81·9))/9,81 = 3,973 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 10,14·3,973 = 40,29 m

Atsakymas

x = 40,29 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 28,71 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·105) = 28,71 m/s

Atsakymas

v_max = 28,71 m/s (103,3 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 3,836 m/s

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,5) = 3,836 m/s

Atsakymas

v_min = 3,836 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 0,4077 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 2 cm = 0,02 m

½kx² = ½·2000·0,02² = 0,4 J

Aukštis

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 0,4/0,981 = 0,4077 m

Atsakymas

h = 0,4077 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 8,859 m/s

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(8 − 4) = 78,48 m²/s²

v = 8,859 m/s

Atsakymas

v = 8,859 m/s

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 128,6 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,03) = 0,7672 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 2)·0,7672/0,012 = 128,6 m/s

Atsakymas

v = 128,6 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 18,15 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,55·(20 + 13) = 18,15 N·s

Atsakymas

J = 18,15 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: a = 7,357 m/s²

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Blokas ir skriemulys

kaladėlė: m·g − T = m·a

skriemulys: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Pagreitis

a = m·g/(m + M/2) = 1,5·9,81/(1,5 + 0,5) = 7,357 m/s²

Atsakymas

a = 7,357 m/s²

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: E_k = 285,8 J

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Slenkamoji ir sukimosi dalys

E_trans = ½·m·v² = ½·7·7² = 171,5 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,6667·m·r²·(v/r)² = 0,6667·171,5 = 114,3 J

Iš viso

E_k = 171,5 + 114,3 = 285,8 J

Atsakymas

E_k = 285,8 J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N₂ = 75

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: F_t = 2T/d.

Bendras dantų skaičius

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/2 = 90

Padalykite pagal perdavimo skaičių

N₁ = 90/(1 + 5) = 15

N₂ = 5·15 = 75

Atsakymas

N₂ = 75

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 1728 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 3000·18/30 = 1800 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 1800·48/50 = 1728 rpm

Atsakymas

n_out = 1728 rpm

bendras perdavimo skaičius = 1,736 : 1

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 11,21 m/s²

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,7/1,57² = 11,21 m/s²

Atsakymas

g = 11,21 m/s²

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 1,026 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(70/2,4) = 5,401 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,19·5,401 = 1,026 m/s

Atsakymas

v_max = 1,026 m/s

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,09899

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·40) = 2828 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 280/2828 = 0,09899

Atsakymas

ζ = 0,09899

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 1,891 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/5 → k_eq = 12·5/(12 + 5) = 3,529 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(3529/25) = 11,88 rad/s

f_n = 11,88/(2π) = 1,891 Hz

Atsakymas

f_n = 1,891 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics