Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 200 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 2300 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 2300 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 18 m/s greičiu nuo stogo, esančio 25 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

6 kg ir 2,5 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 6 kgm₂ = 2,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

10 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 10 kgm₂ = 4 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 12 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 35° kampu į horizontą nuo 50 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 18 m/sθ = 35°h = 50 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 70 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 70 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,2 kg rutuliukas ant 1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 7 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,2 kgr = 1 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,5 kg kūnas nuslysta 9 m nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 0,5 kgθ = 35°μ = 0,15d = 9 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kaladėlė iš rimties būsenos 15° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 15 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 5 m aukštyn šlaitu.

m = 2 kgF = 15 Nθ = 15°μ = 0,15d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

20 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 20 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 20 gM = 2,5 kgh = 20 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1300 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1900 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 24 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1300 kgm₂ = 1900 kgd = 24 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Velenas perduoda 111 kW galią esant 300 rpm. Raskite sukimo momentą T velene.

P = 111 kWn = 300 rpm

T = N·m

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas rutulys pradeda judėti iš rimties ir be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 40° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jo greitį v, kai jis nuriedėjo 4,5 m išilgai nuožulnios plokštumos.

θ = 40°s = 4,5 mI = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

2,2 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 12; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 20. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 98 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 2,2 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 12N₂ = 20η = 98%

T₂ = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (18 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1440 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (36 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 172,8 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 1440 rpmA = 18B = 36C = 12n_out = 172,8 rpm

N_D =

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 3 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 3 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

15 g kulka, lekianti 500 m/s greičiu, pataiko į 0,5 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 1800 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 15 gv = 500 m/sM = 0,5 kgk = 1800 N/m

A = cm

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 50 mm poslinkio amplitudės po 4 ciklų seka 4 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 50 mmx₄ = 4 mmn = 4

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 5 kN/m, apatinės k₂ = 50 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 0,671 m/s²

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·2300) = 0,671 m/s²

Atsakymas

a = 0,671 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: t = 4,744 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−25 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 25 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·25))/9,81 = 4,744 s

Atsakymas

t = 4,744 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 34,62 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (6 − 2,5)·9,81/(6 + 2,5) = 4,039 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš lengvesnio krovinio

T − m₂·g = m₂·a → T = 2,5·(9,81 + 4,039) = 34,62 N

Atsakymas

T = 34,62 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,051 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 24,53)/14 = 1,051 m/s²

Atsakymas

a = 1,051 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 0,8586 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 20° = 11,28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 20° = 4,104 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 4,104²/(2·9,81) = 0,8586 m

Atsakymas

H = 0,8586 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 65,09 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 35° = 14,74 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 35° = 10,32 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 50 + 10,32·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,32 + √(106,6 + 981))/9,81 = 4,414 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 14,74·4,414 = 65,09 m

Atsakymas

x = 65,09 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 21,92 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·70) = 21,92 m/s

Atsakymas

v_max = 21,92 m/s (78,93 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 11,76 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,2·9,81 + 0,2·7²/1 = 1,962 + 9,8 = 11,76 N

Atsakymas

T = 11,76 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 5,424 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 4,905·0,8192 = 4,018 N

F = μN = 0,15·4,018 = 0,6027 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 0,6027·9 = 5,424 J

Atsakymas

W_f = 5,424 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,949 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 5,078 N

μ·mg·cos θ = 2,843 N

Darbas ir energija

½mv² = (15 − 7,921)·5 = 35,4 J

v = √(2·35,4/2) = 5,949 m/s

Atsakymas

v = 5,949 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 249,6 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,2) = 1,981 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 2,5)·1,981/0,02 = 249,6 m/s

Atsakymas

v = 249,6 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 37,77 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·24) = 15,34 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·15,34/1300 = 37,77 m/s

Atsakymas

v₁ = 37,77 m/s

(136 km/h)

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: T = 3533 N·m

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

Sukimo momentas

T = P/ω = 111000/31,42 = 3533 N·m

Atsakymas

T = 3533 N·m

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 6,367 m/s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Nukritimo aukštis

h = s·sin θ = 4,5·sin 40° = 2,893 m

Energijos balansas riedant

Riedėjimas be slydimo: ω = v/r, o trintis sąlyčio taške darbo neatlieka.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,4)

v = √(2·9,81·2,893/1,4) = 6,367 m/s

Atsakymas

v = 6,367 m/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 22,88 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/157,1 = 14,01 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 14,01·20/12·0,98 = 22,88 N·m

Atsakymas

T₂ = 22,88 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 50

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 1440·18/36 = 720 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 12·720/172,8 = 50

Atsakymas

N_D = 50

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 2,236 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(3/2π)² = 2,236 m

Atsakymas

L = 2,236 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 24,63 cm

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,015·500/0,515 = 14,56 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(1800/0,515) = 59,12 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 14,56/59,12 = 0,2463 m = 24,63 cm

Atsakymas

A = 24,63 cm

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,09999

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/4)·ln(50/4) = 0,6314

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6314/√(39,48 + 0,3987) = 0,09999

Atsakymas

ζ = 0,09999

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 4,799 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/50 → k_eq = 5·50/(5 + 50) = 4,545 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(4545/5) = 30,15 rad/s

f_n = 30,15/(2π) = 4,799 Hz

Atsakymas

f_n = 4,799 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics