Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
50 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 3 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.
Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 8 m/s greičiu nuo stogo, esančio 20 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.
17 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.
10 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.
Kamuolys metamas 30° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.
Kamuolys metamas 30° kampu į horizontą nuo 40 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.
Automobilis važiuoja horizontaliu 45 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį vmax, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.
Rutuliukas ant 1,3 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis vmin viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?
Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,4. Raskite jo greitį v, nuslydus 5 m nuokalne.
5 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,15). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 1 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 1 m.
3,5 kg vežimėlis, judantis 10 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 0,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′2 po susidūrimo.
Sankryžoje į rytus 13 m/s greičiu važiuojantis 900 kg automobilis susiduria su į šiaurę 15 m/s greičiu važiuojančiu 1900 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų greitį v′ iškart po susidūrimo.
Vienalytis plonas 4,5 kg masės ir 1,9 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir laikomas horizontaliai. Jis paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite laisvojo galo pagreitį atip iškart po paleidimo.
tuščiaviduris rutulys be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 30° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jo centro pagreitį a.
11 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 12; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 15. Nuostolių nepaisykite. Raskite sukimo momentą T1 variklio velene.
Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (12 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 960 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (80 dantų). Krumpliaratis C (50 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 120 rpm greičiu. Kiek dantų ND turi turėti krumpliaratis D?
Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1,9 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 4,5 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.
2,5 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 350 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią spyruoklės pailgėjimą xmax cm.
25 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 100 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,35. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.
25 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 50 kN/m, apatinės k₂ = 25 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą keq kN/m.
Atsakymas: s = 32,15 m
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Atsakymas: t = 2,993 s
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.
Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.
Atsakymas: a = 4,823 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.
Atsakymas: a = 2,102 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Atsakymas: H = 3,262 m
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: vy² = 2gH.
Atsakymas: x = 52,45 m
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
Išspręskite y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.
Atsakymas: vmax = 14,86 m/s
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Atsakymas: vmin = 3,571 m/s
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Atsakymas: v = 5,744 m/s
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.
Atsakymas: v = 0,9042 m/s
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Atsakymas: v′2 = 17,5 m/s
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.
Atsakymas: v′ = 11 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Atsakymas: atip = 14,71 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Paleidimo momentu ω = 0, todėl įcentrinio pagreičio nėra ir centras greitėja tiesiai žemyn.
atip = 1,5·g bet kokiam ilgiui: laisvasis galas krenta greičiau nei paleistas akmuo.
Atsakymas: a = 2,943 m/s²
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Atsakymas: T1 = 109,4 N·m
Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.
Atsakymas: ND = 60
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Atsakymas: g = 3,704 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Atsakymas: xmax = 14,01 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Atsakymas: fd = 9,429 Hz
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Atsakymas: keq = 16,67 kN/m
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics