Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

90 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 6,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 90 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 8 m/s greičiu nuo stogo, esančio 20 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 8 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

20 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 30° kampą virš horizontalės, 150 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 20 kgF = 150 Nθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 30° rampa 8 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 8 m/sθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 70° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 30 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 36 m/s greičiu 70° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 18 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 36 m/sθ = 70°h_roof = 18 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

60 m spindulio posūkis turi 10° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 60 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

50 m spindulio posūkis turi 15° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 50 mθ = 15°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

1 kg kūnas nuslysta 20 m nuokalne, pasvirusia 15° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 1 kgθ = 15°μ = 0,15d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 2,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4 m ilgio juostą (μ = 0,3) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 800 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 5 kgh = 2,5 mL = 4 mμ = 0,3k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

20 kg sviedinys, horizontaliai judantis 21 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 3 kg skeveldra toliau juda pirmyn 69 m/s greičiu. Raskite 17 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 20 kgu = 21 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 69 m/sm₂ = 17 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,3 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 16 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 13 m/s greičiu. Sąlytis trunka 5 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,3 kgv_in = 16 m/sv_out = 13 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

15 kg masės blokas kabo ant lengvos virvės, apvyniotos ant skriemulio – vienalyčio vientiso 12,5 kg masės ir 0,4 m spindulio disko, besisukančio ant besitrinties horizontaliosios ašies. Blokas paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite bloko greitį v, kai jis nukrito 5 m.

m = 15 kgM = 12,5 kgR = 0,4 mg = 9,81 m/s²h = 5 m

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas rutulys, kurio masė 4 kg, be slydimo rieda 6,5 m/s greičiu. Kiek procentų p visos kinetinės energijos sudaro sukimosi energija?

m = 4 kgv = 6,5 m/sI = (2/5)·m·r²

p = %

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

2,2 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 18 dantų, kurio modulis 4 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 2,2 kWn = 1450 rpmN₁ = 18m = 4 mm

F_t = N

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 200 mm ir 450 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 600 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 200 mmd₂ = 450 mmC = 600 mm

θ = °

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

1,1 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 180 N/m, atitraukiamas 4 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 0,5 s (su ženklu).

m = 1,1 kgk = 180 N/mA = 4 cmt = 0,5 s

x = cm

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,7 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 30 N/m, atitraukiamas 16 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 2,7 kgk = 30 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

5 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 20 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,45. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 5 kgk = 20 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 10 kN/m ir k₂ = 12 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 3,846 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/6,5 = 3,846 s

Atsakymas

t = 3,846 s

2.Kinematika

Atsakymas: t = 2,993 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−20 = 8·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 8·t − 20 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (8 + √(8² + 2·9,81·20))/9,81 = 2,993 s

Atsakymas

t = 2,993 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,677 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 150·sin 30° = 121,2 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 129,9 − 36,36

a = 93,54/20 = 4,677 m/s²

Atsakymas

a = 4,677 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 4,553 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 30° + 0,25·cos 30°) = 7,029 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·7,029) = 4,553 m

Atsakymas

d = 4,553 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 5,747 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 70° = 10,26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 70° = 28,19 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·28,19/9,81 = 5,747 s

Atsakymas

t = 5,747 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 77,76 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 12,31 m/s, v_y = 33,83 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

18 = 33,83·t − 4,905·t²

t = (33,83 + √(33,83² − 2·9,81·18))/9,81 = 6,316 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 12,31·6,316 = 77,76 m

Atsakymas

x = 77,76 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 10,19 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(60·9,81·tan 10°) = 10,19 m/s

Atsakymas

v = 10,19 m/s

(36,68 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 14,61 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(50·9,81·0,4037/0,9271) = 14,61 m/s

Atsakymas

v_max = 14,61 m/s

(52,61 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 28,43 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 9,81·0,9659 = 9,476 N

F = μN = 0,15·9,476 = 1,421 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 1,421·20 = 28,43 J

Atsakymas

W_f = 28,43 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 39,93 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 49,05·(2,5 − 0,3·4) = 63,77 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 63,77 → x = √(2·63,77/800) = 0,3993 m = 39,93 cm

Atsakymas

x = 39,93 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 12,53 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 20·21 = 420 kg·m/s

Judesio kiekis po

420 = 3·69 + 17·v′₂

v′₂ = (420 − 207)/17 = 12,53 m/s

Atsakymas

v′₂ = 12,53 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 1740 N

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,3·(13 + 16) = 8,7 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 8,7/0,005 = 1740 N

Atsakymas

F_avg = 1740 N

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 8,321 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Blokas ir skriemulys

kaladėlė: m·g − T = m·a

skriemulys: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Pagreitis

a = m·g/(m + M/2) = 15·9,81/(15 + 6,25) = 6,925 m/s²

Greitis po kritimo

v = √(2·a·h) = √(2·6,925·5) = 8,321 m/s

Atsakymas

v = 8,321 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: p = 28,57 %

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Slenkamoji ir sukimosi dalys

E_trans = ½·m·v² = ½·4·6,5² = 84,5 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·84,5 = 33,8 J

Sukimosi dalis

p = 33,8/118,3·100% = c/(1 + c)·100% = 28,57%

Atsakymas

p = 28,57 %

Dalis priklauso tik nuo formos, o ne nuo masės ar greičio.

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 402,5 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 2200/151,8 = 14,49 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 4·18 = 72 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·14,49/0,072 = 402,5 N

Atsakymas

F_t = 402,5 N

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 156 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,2083) = 12,02°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·12,02 = 156°

Atsakymas

θ = 156°

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = 3,975 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(180/1,1) = 12,79 rad/s

ω·t = 12,79·0,5 = 6,396 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(6,396) = 3,975 cm

Atsakymas

x = 3,975 cm

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 1,778 m/s²

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(30/2,7) = 3,333 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,16·3,333² = 1,778 m/s²

Atsakymas

a_max = 1,778 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 8,989 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(20000/5) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,45²) = 8,989 Hz

Atsakymas

f_d = 8,989 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,338 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 12 = 22 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(22000/50) = 20,98 rad/s

f_n = 20,98/(2π) = 3,338 Hz

Atsakymas

f_n = 3,338 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics