Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 20 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 4,5 m/s² pagreičiu. Kokiu atstumu nuo savo pradinio taško policijos automobilis pasiveja? Raskite d.

v_car = 20 m/sa_police = 4,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.KinematikaSunkus

Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 1 s suteikia jai pastovų 20 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią raketos pasiekiamą aukštį h_max.

a = 20 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

20 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 20 kgθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 3,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 1 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 38 m/s greičiu 40° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 87 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 38 m/sθ = 40°x = 87 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 31 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 4 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 31 m/sθ = 60°h_roof = 4 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 2,3 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią sukimosi dažnį n apsisukimais per minutę.

r = 2,3 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,8 kg rutuliukas ant 0,8 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 5 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,8 kgr = 0,8 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 800 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,15 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 5 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,15 kgk = 800 N/mx = 5 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

1 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 2,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3,5 m ilgio juostą (μ = 0,15) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 2500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 1 kgh = 2,5 mL = 3,5 mμ = 0,15k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

12 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 21 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 12 gM = 2,5 kgh = 21 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

20 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 35° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 20 gM = 2,5 kgL = 1 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

11,5 kg masės blokas kabo ant lengvos virvės, apvyniotos ant skriemulio – vienalyčio vientiso 5 kg masės ir 0,25 m spindulio disko, besisukančio ant besitrinties horizontaliosios ašies. Blokas paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite bloko greitį v, kai jis nukrito 2,5 m.

m = 11,5 kgM = 5 kgR = 0,25 mg = 9,81 m/s²h = 2,5 m

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

plonas lankas pradeda judėti iš rimties ir be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 35° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jo greitį v, kai jis nuriedėjo 4 m išilgai nuožulnios plokštumos.

θ = 35°s = 4 mI = m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,5 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 24; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 32. Nuostolių nepaisykite. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 1,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 32η = 100%

T₂ = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (18 dantų). Krumpliaratis C (16 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (40 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1450 rpmA = 15B = 18C = 16D = 40

n_out = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

2,5 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 470 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 14 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 12 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 2,5 kgk = 470 N/mA = 14 cmx = 12 cm

v = m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 110 N/m, atitraukiamas 15 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 3 kgk = 110 N/mA = 15 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

2 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 100 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 270 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 2 kgk = 100 kN/mc = 270 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 60 kN/m, apatinės k₂ = 5 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 177,8 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·20/4,5 = 8,889 s

Kelias

d = v·t = 20·8,889 = 177,8 m

Atsakymas

d = 177,8 m

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 40 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 30,39 m

Varomoji fazė

v₁ = 20·1 = 20 m/s

h₁ = ½·20·1² = 10 m

Laisvasis skrydis aukštyn

Viršuje greitis lygus nuliui.

Δh = v₁²/(2g) = 20²/(2·9,81) = 20,39 m

h_max = 10 + 20,39 = 30,39 m

Atsakymas

h_max = 30,39 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,257 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 25° − 0,1·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,09063) = 3,257 m/s²

Atsakymas

a = 3,257 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 9,156 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 1,962)/4,5 = 7,194 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·7,194 + 1,962 = 9,156 N

Atsakymas

T = 9,156 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 29,19 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Laikas iki sienos

v_x = 38·cos 40° = 29,11 m/s

t = x/v_x = 87/29,11 = 2,989 s

Aukštis tuo momentu

y = 24,43·2,989 − ½·9,81·2,989² = 29,19 m

Atsakymas

y = 29,19 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 82,46 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 15,5 m/s, v_y = 26,85 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

4 = 26,85·t − 4,905·t²

t = (26,85 + √(26,85² − 2·9,81·4))/9,81 = 5,32 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 15,5·5,32 = 82,46 m

Atsakymas

x = 82,46 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: n = 36,01 rpm

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,3·2,3)) = 3,771 rad/s

Sukimosi dažnis

n = ω·60/(2π) = 36,01 rpm

Atsakymas

n = 36,01 rpm

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 32,85 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,8·9,81 + 0,8·5²/0,8 = 7,848 + 25 = 32,85 N

Atsakymas

T = 32,85 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 0,6796 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·800·0,05² = 1 J

Aukštis

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 1/1,472 = 0,6796 m

Atsakymas

h = 0,6796 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 6,225 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 9,81·(2,5 − 0,15·3,5) = 19,37 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,975) = 6,225 m/s

Atsakymas

v = 6,225 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 424,9 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,21) = 2,03 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 2,5)·2,03/0,012 = 424,9 m/s

Atsakymas

v = 424,9 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 237,3 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 35°) = 0,1808 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,1808) = 1,884 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 2,52·1,884/0,02 = 237,3 m/s

Atsakymas

v = 237,3 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 6,348 m/s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Blokas ir skriemulys

kaladėlė: m·g − T = m·a

skriemulys: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Pagreitis

a = m·g/(m + M/2) = 11,5·9,81/(11,5 + 2,5) = 8,058 m/s²

Greitis po kritimo

v = √(2·a·h) = √(2·8,058·2,5) = 6,348 m/s

Atsakymas

v = 6,348 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 4,744 m/s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Nukritimo aukštis

h = s·sin θ = 4·sin 35° = 2,294 m

Energijos balansas riedant

Riedėjimas be slydimo: ω = v/r, o trintis sąlyčio taške darbo neatlieka.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·2,294/2) = 4,744 m/s

Atsakymas

v = 4,744 m/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 19,89 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/100,5 = 14,92 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 14,92·32/24·1 = 19,89 N·m

Atsakymas

T₂ = 19,89 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 483,3 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 1450·15/18 = 1208 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 1208·16/40 = 483,3 rpm

Atsakymas

n_out = 483,3 rpm

bendras perdavimo skaičius = 3 : 1

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,9887 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(470/2,5) = 13,71 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 13,71·√(0,14² − 0,12²) = 0,9887 m/s

Atsakymas

v = 0,9887 m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 5,5 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(110/3) = 6,055 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,15·6,055² = 5,5 m/s²

Atsakymas

a_max = 5,5 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,3019

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·2) = 894,4 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 270/894,4 = 0,3019

Atsakymas

ζ = 0,3019

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,418 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/5 → k_eq = 60·5/(60 + 5) = 4,615 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(4615/20) = 15,19 rad/s

f_n = 15,19/(2π) = 2,418 Hz

Atsakymas

f_n = 2,418 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics