Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

120 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 120 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 8 m/s greičiu nuo stogo, esančio 15 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 8 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

13 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 13 kgθ = 45°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 105 N jėga traukia priekinę 1 kg kaladėlę; 6 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jungiamojo siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 6 kgm₂ = 1 kgF = 105 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 18 m/s greičiu 50° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 13 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 18 m/sθ = 50°x = 13 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 33 m/s greičiu 70° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 5 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 33 m/sθ = 70°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 70 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 70 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Mažas vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas bėgiu be trinties ir įvažiuoja į vertikalią 5 m spindulio kilpą. Iš kokio mažiausio aukščio h_min virš kilpos apačios jis turi pradėti, kad kilpos viršuje neatitrūktų nuo bėgio?

R = 5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Darbas ir energijaVidutinis

Automobilis, važiuojantis lygiu keliu 110 km/h greičiu, staigiai stabdo ir užblokuotais ratais slysta iki sustojimo. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,6. Raskite stabdymo kelią d.

v = 110 km/hμ = 0,6g = 9,81 m/s²

d = m

10.Darbas ir energijaSunkus

8 kg kaladėlė iš rimties būsenos 25° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 70 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 7 m aukštyn šlaitu.

m = 8 kgF = 70 Nθ = 25°μ = 0,3d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

2 kg vežimėlis, judantis 6 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 4,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 2 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,6 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 29 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 19 m/s greičiu. Sąlytis trunka 50 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,6 kgv_in = 29 m/sv_out = 19 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Smagratis, kurio inercijos momentas 8 kg·m², sukasi 400 rpm. Stabdys sukuria pastovų trinties momentą 95 N·m. Per kiek laiko t jis sustoja?

I = 8 kg·m²n = 400 rpmT_b = 95 N·m

t = s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas rutulys be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 15° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią statinės trinties koeficientą μ_s, kuriam esant jis neslysta.

θ = 15°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

5,5 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 24; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 50. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 98 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 5,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 50η = 98%

T₂ = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (16 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2900 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (48 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (72 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 2900 rpmA = 16B = 48C = 12D = 72

n_out = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

2 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 170 N/m, atitraukiamas 4 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 1,15 s (su ženklu).

m = 2 kgk = 170 N/mA = 4 cmt = 1,15 s

x = cm

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,2 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 260 N/m, atitraukiamas 9 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 1,2 kgk = 260 N/mA = 9 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 40 mm poslinkio amplitudės po vieno ciklo seka 15,4 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 40 mmx₁ = 15,4 mmn = 1

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 40 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 101 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·5,5) = 101 m

Atsakymas

s = 101 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 18,26 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9,81) = 3,262 m

Aukštis virš žemės

h_max = 15 + 3,262 = 18,26 m

Atsakymas

h_max = 18,26 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,549 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 45° − 0,2·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1414) = 5,549 m/s²

Atsakymas

a = 5,549 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 90 N

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (105 − 20,6)/7 = 12,06 m/s²

Vien galinė kaladėlė

T = m₁·(a + μ·g) = 6·(12,06 + 2,943) = 90 N

Atsakymas

T = 90 N

Kai abiejų kaladėlių μ vienodas, trintis išnyksta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 9,301 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Laikas iki sienos

v_x = 18·cos 50° = 11,57 m/s

t = x/v_x = 13/11,57 = 1,124 s

Aukštis tuo momentu

y = 13,79·1,124 − ½·9,81·1,124² = 9,301 m

Atsakymas

y = 9,301 m

Prie sienos kamuolys dar kyla.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 69,49 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 11,29 m/s, v_y = 31,01 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

5 = 31,01·t − 4,905·t²

t = (31,01 + √(31,01² − 2·9,81·5))/9,81 = 6,157 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 11,29·6,157 = 69,49 m

Atsakymas

x = 69,49 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 20,3 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·70) = 20,3 m/s

Atsakymas

v_max = 20,3 m/s (73,07 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: h_min = 12,5 m

Sąlyga viršuje

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Energijos tvermė

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·5 = 12,5 m

Atsakymas

h_min = 12,5 m

9.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 79,31 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Greitis pagrindiniais vienetais

v = 110/3,6 = 30,56 m/s

Energijos balansas

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30,56²/(2·0,6·9,81) = 79,31 m

Atsakymas

d = 79,31 m

Padvigubinus greitį, stabdymo kelias pailgėja keturis kartus.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,207 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 33,17 N

μ·mg·cos θ = 21,34 N

Darbas ir energija

½mv² = (70 − 54,51)·7 = 108,5 J

v = √(2·108,5/8) = 5,207 m/s

Atsakymas

v = 5,207 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 3,692 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (2 − 4,5)/(2 + 4,5)·6 = −2,308 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4,5)·6 = 3,692 m/s

Atsakymas

v′₂ = 3,692 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 28,8 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,6·(19 + 29) = 28,8 N·s

Atsakymas

J = 28,8 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: t = 3,527 s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·400/60 = 41,89 rad/s

Lėtėjimas ir laikas

α = T_b/I = 95/8 = 11,88 rad/s²

t = ω/α = 41,89/11,88 = 3,527 s

Atsakymas

t = 3,527 s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: μ_s = 0,07656

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/1,4 = 1,814 m/s²

Reikalinga trintis

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,4·tan 15°/1,4 = 0,07656

Atsakymas

μ_s = 0,07656

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 111,7 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/100,5 = 54,71 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 54,71·50/24·0,98 = 111,7 N·m

Atsakymas

T₂ = 111,7 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 161,1 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 2900·16/48 = 966,7 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 966,7·12/72 = 161,1 rpm

Atsakymas

n_out = 161,1 rpm

bendras perdavimo skaičius = 18 : 1

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = −1,532 cm

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(170/2) = 9,22 rad/s

ω·t = 9,22·1,15 = 10,6 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(10,6) = −1,532 cm

Atsakymas

x = −1,532 cm

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 19,5 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(260/1,2) = 14,72 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,09·14,72² = 19,5 m/s²

Atsakymas

a_max = 19,5 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1502

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/1)·ln(40/15,4) = 0,9545

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9545/√(39,48 + 0,9111) = 0,1502

Atsakymas

ζ = 0,1502

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 5,955 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 40 = 70 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(70000/50) = 37,42 rad/s

f_n = 37,42/(2π) = 5,955 Hz

Atsakymas

f_n = 5,955 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics