Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

72 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 3,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 72 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 18 m/s greičiu nuo stogo, esančio 20 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

9 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 9 kgθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 35° rampa 5,5 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 5,5 m/sθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 55° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 24 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 34 m/s greičiu 40° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 9 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 34 m/sθ = 40°h_roof = 9 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 140 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 140 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1 kg vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas 29,45 m aukštyje ant bėgio be trinties ir pervažiuoja vertikalią 9,5 m spindulio kilpą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N_top, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 1 kgh = 29,45 mR = 9,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 1500 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,1 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 6 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,1 kgk = 1500 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

4 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,15). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 6 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 3 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0,15d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

2000 kg automobilis, judantis 22 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 800 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 2000 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

10 g kulka horizontaliai įšaunama į 3 kg tašelį, kabantį ant lengvų 0,8 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 35° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 10 gM = 3 kgL = 0,8 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Variklis duoda 110 N·m sukimo momentą esant 2200 rpm. Raskite jo išėjimo galią P kW.

T = 110 N·mn = 2200 rpm

P = kW

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas cilindras be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 20° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jis pradeda iš rimties. Per kiek laiko t jis nurieda 1 m nuožulnia plokštuma?

θ = 20°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²s = 1 m

t = s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 125 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 720 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 500 N, laisvosios – 250 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 500 NT₂ = 250 N

P = kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 30 dantų, o kiekvienas satelitas – 30 dantų. Vedžiklis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1200 rpm greičiu. Raskite vainikinio krumpliaračio sukimosi greitį n_r (didumą).

N_s = 30N_p = 30n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

0,7 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 50 N/m, atitraukiamas 7 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo greitį v momentu t = 0,85 s (su ženklu).

m = 0,7 kgk = 50 N/mA = 7 cmt = 0,85 s

v = m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,8 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 280 N/m, atitraukiamas 19 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 1,8 kgk = 280 N/mA = 19 cm

E = J

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 50 mm poslinkio amplitudės po 3 ciklų seka 19,5 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 50 mmx₃ = 19,5 mmn = 3

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 30 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 57,14 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3,5) = 57,14 m

Atsakymas

s = 57,14 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 4,563 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−20 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 20 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,563 s

Atsakymas

t = 4,563 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,631 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 30° − 0,15·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1299) = 3,631 m/s²

Atsakymas

a = 3,631 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 1,882 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 35° + 0,3·cos 35°) = 8,038 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 5,5²/(2·8,038) = 1,882 m

Atsakymas

d = 1,882 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 55,17 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 55° = 13,77 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 55° = 19,66 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·19,66/9,81 = 4,008 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 13,77·4,008 = 55,17 m

Atsakymas

x = 55,17 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 104,1 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 26,05 m/s, v_y = 21,85 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

9 = 21,85·t − 4,905·t²

t = (21,85 + √(21,85² − 2·9,81·9))/9,81 = 3,996 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 26,05·3,996 = 104,1 m

Atsakymas

x = 104,1 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 26,2 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·140) = 26,2 m/s

Atsakymas

v_max = 26,2 m/s (94,34 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N_top = 11,77 N

Greitis iš energijos tvermės

v² = 2·9,81·(29,45 − 2·9,5) = 205 m²/s²

Jėgos

Teigiama kryptis į centrą.

N = m·v²/R − m·g = 1·205/9,5 − 9,81 = 11,77 N

Atsakymas

N_top = 11,77 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 2,752 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·1500·0,06² = 2,7 J

Aukštis

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 2,7/0,981 = 2,752 m

Atsakymas

h = 2,752 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,638 m/s

Išsiskyrusi ir prarasta energija

m₂g·d = 58,86·3 = 176,6 J

μ·m₁g·d = 0,15·39,24·3 = 17,66 J

Abiejų kaladėlių kinetinė energija

½(m₁ + m₂)v² = 158,9 → v = √(2·158,9/10) = 5,638 m/s

Atsakymas

v = 5,638 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 138286 J

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·22/2800 = 15,71 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·2000·22² = 484000 J

K_after = ½·2800·15,71² = 345714 J

Prarasta energija

ΔK = 484000 − 345714 = 138286 J

Atsakymas

ΔK = 138286 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 507,1 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 0,8·(1 − cos 35°) = 0,1447 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,1447) = 1,685 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 3,01·1,685/0,01 = 507,1 m/s

Atsakymas

v = 507,1 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: P = 25,34 kW

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·2200/60 = 230,4 rad/s

Galia

P = T·ω = 110·230,4 = 25342 W = 25,34 kW

Atsakymas

P = 25,34 kW

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: t = 0,9456 s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 20°/1,5 = 2,237 m/s²

Laikas

s = ½·a·t² → t = √(2·1/2,237) = 0,9456 s

Atsakymas

t = 0,9456 s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 1,178 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 4,712 m/s

Galia

P = (500 − 250)·4,712 = 1178 W = 1,178 kW

Atsakymas

P = 1,178 kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_r = 400 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·30 = 90

Viliso lygtis, kai vedžiklis nejudamas

Kai n_c = 0, saulės krumpliaratis per satelitus suka vainiką, o satelitai veikia kaip tarpiniai krumpliaračiai.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·30/90 = −400 rpm

|n_r| = 400 rpm

Atsakymas

n_r = 400 rpm

Vainikas sukasi priešinga kryptimi nei saulės krumpliaratis.

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = −0,4637 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(50/0,7) = 8,452 rad/s

ω·t = 8,452·0,85 = 7,184 rad

Greitis

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,07·8,452·sin(7,184) = −0,4637 m/s

Atsakymas

v = −0,4637 m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 5,054 J

Kampinis dažnis

ω = √(280/1,8) = 12,47 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·280·0,19² = 5,054 J

Atsakymas

E = 5,054 J

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,04989

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/3)·ln(50/19,5) = 0,3139

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3139/√(39,48 + 0,09851) = 0,04989

Atsakymas

ζ = 0,04989

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 25,66 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 30 = 130 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(130000/5) = 161,2 rad/s

f_n = 161,2/(2π) = 25,66 Hz

Atsakymas

f_n = 25,66 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics