Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

50 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 8 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 50 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 6 s greitėja 3 m/s² pagreičiu, tada 19 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 2,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 6 st₂ = 19 sa₃ = −2,5 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

10 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 40° kampą virš horizontalės, 50 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 10 kgF = 50 Nθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

4 kg kaladėlė ant 40° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 9 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 4 kgm₂ = 9 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 55° kampu virš horizontalės ir nukrinta 75 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 55°R = 75 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 14 m/s greičiu 55° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 35 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 14 m/sθ = 55°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Kelių inžinierius nori, kad automobiliai 150 m spindulio posūkį įveiktų 100 km/h greičiu nesiremdami trintimi. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite posvyrio kampą θ.

r = 150 mv = 100 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,8 kg rutuliukas ant lengvo 0,6 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 8 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,8 kgr = 0,6 mv_bottom = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

1000 kg automobilis važiuoja į 8° šlaitą pastoviu 54 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 300 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1000 kgθ = 8°F_r = 300 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 2 m ilgio juostą (μ = 0,3) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 4000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 5 kgh = 5 mL = 2 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1300 kg automobilis, judantis 7 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1400 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek procentų ΔK/K pradinės kinetinės energijos prarandama?

m₁ = 1300 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

2000 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1000 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 23 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,75. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 2000 kgm₂ = 1000 kgd = 23 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Variklis duoda 1500 N·m sukimo momentą esant 1800 rpm. Raskite jo išėjimo galią P kW.

T = 1500 N·mn = 1800 rpm

P = kW

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis plonas 8 kg masės ir 0,9 m ilgio strypas ramiai kabo ant besitrinties šarnyro viršutiniame gale. 15 g masės kulka, horizontaliai lekianti 400 m/s greičiu, pataiko į strypą 0,46 m žemiau šarnyro ir įstringa. Raskite strypo kampinį greitį ω iškart po smūgio.

M = 8 kgL = 0,9 mm = 15 gv = 400 m/sd = 0,46 m

ω = rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Sliekas (pradų skaičius 1) sukasi 1450 rpm greičiu ir suka sliekratį su 72 dantų. Raskite sliekračio sukimosi greitį n_w.

z = 1N_w = 72n = 1450 rpm

n_w = rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (30 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 960 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (50 dantų). Krumpliaratis C (18 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 216 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 960 rpmA = 30B = 50C = 18n_out = 216 rpm

N_D =

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1,6 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 2,37 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 1,6 mT = 2,37 s

g = m/s²

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,4 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 470 N/m, atitraukiamas 8 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 0,4 kgk = 470 N/mA = 8 cm

E = J

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

20 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 12 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,3. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 20 kgk = 12 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 30 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 60 kN/m ir k₂ = 40 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 12,06 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·8) = 12,06 m

Atsakymas

s = 12,06 m

2.Kinematika

Atsakymas: s = 460,8 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 3·6 = 18 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·3·6² = 54 m

s₂ = 18·19 = 342 m

s₃ = 18²/(2·2,5) = 64,8 m

Visas atstumas

s = 54 + 342 + 64,8 = 460,8 m

Atsakymas

s = 460,8 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,511 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 98,1 − 50·sin 40° = 65,96 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 38,3 − 13,19

a = 25,11/10 = 2,511 m/s²

Atsakymas

a = 2,511 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,273 m/s²

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 88,29 N

m₁·g·sin θ = 25,22 N

μ·m₁·g·cos θ = 7,515 N

Sistemos pagreitis

a = (88,29 − 25,22 − 7,515)/13 = 4,273 m/s²

Atsakymas

a = 4,273 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 27,98 m/s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·75/sin 110°) = 27,98 m/s

Atsakymas

v₀ = 27,98 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 41,7 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 14·sin 55° = 11,47 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 11,47²/(2·9,81) = 6,703 m

Aukštis virš žemės

H = 35 + 6,703 = 41,7 m

Atsakymas

H = 41,7 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: θ = 27,67 °

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Vienetai

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Posvyrio kampas

tan θ = v²/(r·g) = 27,78²/(150·9,81) = 0,5244

θ = 27,67°

Atsakymas

θ = 27,67°

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 103,7 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 8² − 4·9,81·0,6 = 40,46 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,8·40,46/0,6 − 1,8·9,81 = 103,7 N

Atsakymas

T_top = 103,7 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 24,98 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 8° = 1365 N

F = 1365 + 300 = 1665 N

Galia

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1665·15 = 24979 W = 24,98 kW

Atsakymas

P = 24,98 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 32,85 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 49,05·(5 − 0,3·2) = 215,8 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 215,8 → x = √(2·215,8/4000) = 0,3285 m = 32,85 cm

Atsakymas

x = 32,85 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK/K = 51,85 %

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·7/2700 = 3,37 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·1300·7² = 31850 J

K_after = ½·2700·3,37² = 15335 J

Prarasta dalis

ΔK/K = 16515/31850 = 51,85 %

Atsakymas

ΔK/K = 51,85 %

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 27,6 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·23) = 18,4 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·18,4/2000 = 27,6 m/s

Atsakymas

v₁ = 27,6 m/s

(99,34 km/h)

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: P = 282,7 kW

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

Galia

P = T·ω = 1500·188,5 = 282743 W = 282,7 kW

Atsakymas

P = 282,7 kW

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 1,276 rad/s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentas po smūgio

I = M·L²/3 + m·d² = 8·0,9²/3 + 0,015·0,46² = 2,163 kg·m²

Judesio kiekio momentas šarnyro atžvilgiu

Šarnyro jėga eina per šarnyrą, todėl smūgio metu ten momento neturi.

m·v·d = I·ω → ω = 0,015·400·0,46/2,163 = 1,276 rad/s

Atsakymas

ω = 1,276 rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_w = 20,14 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 1450·1/72 = 20,14 rpm

Atsakymas

n_w = 20,14 rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 48

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 960·30/50 = 576 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 18·576/216 = 48

Atsakymas

N_D = 48

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 11,25 m/s²

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,6/2,37² = 11,25 m/s²

Atsakymas

g = 11,25 m/s²

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 1,504 J

Kampinis dažnis

ω = √(470/0,4) = 34,28 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·470·0,08² = 1,504 J

Atsakymas

E = 1,504 J

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 3,719 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(12000/20) = 24,49 rad/s

f_n = 24,49/(2π) = 3,898 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,898·√(1 − 0,3²) = 3,719 Hz

Atsakymas

f_d = 3,719 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 4,835 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 60 + 40 = 100 kN/m

k_eq = 100·30/(100 + 30) = 23,08 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(23077/25) = 30,38 rad/s

f_n = 30,38/(2π) = 4,835 Hz

Atsakymas

f_n = 4,835 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics