Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

80 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 3,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 80 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 17 m/s greičiu nuo stogo, esančio 35 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 17 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

15 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 15 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

4,5 kg kaladėlė ant 40° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 5 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 12 m/s greičiu 55° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 11 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 12 m/sθ = 55°x = 11 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 11 m/s greičiu 65° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 50 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 11 m/sθ = 65°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 3,6 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią sukimosi dažnį n apsisukimais per minutę.

r = 3,6 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,2 kg rutuliukas ant 1,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 8 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,2 kgr = 1,5 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

5 kg rutuliukas kabo ant lengvo 2 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 30° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 5 kgL = 2 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

8 kg kaladėlė iš rimties būsenos 30° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 80 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 2 m aukštyn šlaitu.

m = 8 kgF = 80 Nθ = 30°μ = 0,25d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

12 g kulka horizontaliai įšaunama į 3 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 14 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 12 gM = 3 kgh = 14 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,15 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 26 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 10 m/s greičiu. Sąlytis trunka 5 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,15 kgv_in = 26 m/sv_out = 10 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 2,5 kg masės ir 1,8 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir paleidžiamas iš rimties horizontalioje padėtyje. Prie jo laisvojo galo pritvirtintas mažas 4,5 kg masės rutuliukas. Trinties nepaisykite ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite laisvojo galo greitį v, kai strypas praeina vertikalią padėtį.

m = 2,5 kgL = 1,8 mm_ball = 4,5 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

plonas lankas pradeda judėti iš rimties ir be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 10° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jo spindulys yra 0,25 m. Raskite jo kampinį greitį ω, kai jis nuriedėjo 1 m išilgai nuožulnios plokštumos.

θ = 10°s = 1 mI = m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,25 m

ω = rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Sliekas (pradų skaičius 2) sukasi 1450 rpm greičiu ir suka sliekratį su 36 dantų. Raskite sliekračio sukimosi greitį n_w.

z = 2N_w = 36n = 1450 rpm

n_w = rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (40 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (80 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (20 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1450 rpmA = 40B = 80C = 12D = 20

n_out = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 1,2 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 1,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,7 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 220 N/m, atitraukiamas 2 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 1,7 kgk = 220 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

2 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 50 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 320 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 2 kgk = 50 kN/mc = 320 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 100 kN/m, apatinės k₂ = 40 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 6,349 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22,22/3,5 = 6,349 s

Atsakymas

t = 6,349 s

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 49,73 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9,81) = 14,73 m

Aukštis virš žemės

h_max = 35 + 14,73 = 49,73 m

Atsakymas

h_max = 49,73 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,206 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 30° − 0,2·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1732) = 3,206 m/s²

Atsakymas

a = 3,206 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 42,62 N

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 49,05 N

m₁·g·sin θ = 28,38 N

μ·m₁·g·cos θ = 8,454 N

Sistemos pagreitis

a = (49,05 − 28,38 − 8,454)/9,5 = 1,286 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 5·(9,81 − 1,286) = 42,62 N

Atsakymas

T = 42,62 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 3,182 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Laikas iki sienos

v_x = 12·cos 55° = 6,883 m/s

t = x/v_x = 11/6,883 = 1,598 s

Aukštis tuo momentu

y = 9,83·1,598 − ½·9,81·1,598² = 3,182 m

Atsakymas

y = 3,182 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 55,07 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 11·sin 65° = 9,969 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 9,969²/(2·9,81) = 5,066 m

Aukštis virš žemės

H = 50 + 5,066 = 55,07 m

Atsakymas

H = 55,07 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: n = 20,35 rpm

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·3,6)) = 2,131 rad/s

Sukimosi dažnis

n = ω·60/(2π) = 20,35 rpm

Atsakymas

n = 20,35 rpm

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 10,5 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,2·9,81 + 0,2·8²/1,5 = 1,962 + 8,533 = 10,5 N

Atsakymas

T = 10,5 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 62,19 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 30°) = 5,257 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·5,257/2 = 62,19 N

Atsakymas

T = 62,19 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 62,19 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 3,447 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 39,24 N

μ·mg·cos θ = 16,99 N

Darbas ir energija

½mv² = (80 − 56,23)·2 = 47,54 J

v = √(2·47,54/8) = 3,447 m/s

Atsakymas

v = 3,447 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 416 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,14) = 1,657 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 3)·1,657/0,012 = 416 m/s

Atsakymas

v = 416 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 5,4 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,15·(10 + 26) = 5,4 N·s

Atsakymas

J = 5,4 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 6,17 m/s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Potencinės energijos sumažėjimas

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 2,5·9,81·0,9 + 4,5·9,81·1,8 = 101,5 J

Inercijos momentas šarnyro atžvilgiu

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 2,7 + 14,58 = 17,28 kg·m²

Energijos balansas

½·I_O·ω² = 101,5 → ω = √(2·101,5/17,28) = 3,428 rad/s

v = ω·L = 3,428·1,8 = 6,17 m/s

Atsakymas

v = 6,17 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 5,221 rad/s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Nukritimo aukštis

h = s·sin θ = 1·sin 10° = 0,1736 m

Energijos balansas riedant

Riedėjimas be slydimo: ω = v/r, o trintis sąlyčio taške darbo neatlieka.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·0,1736/2) = 1,305 m/s

ω = v/r = 1,305/0,25 = 5,221 rad/s

Atsakymas

ω = 5,221 rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_w = 80,56 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 1450·2/36 = 80,56 rpm

Atsakymas

n_w = 80,56 rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 435 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 1450·40/80 = 725 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 725·12/20 = 435 rpm

Atsakymas

n_out = 435 rpm

bendras perdavimo skaičius = 3,333 : 1

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,198 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(1,2/9,81) = 2,198 s

Atsakymas

T = 2,198 s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,2275 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(220/1,7) = 11,38 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,02·11,38 = 0,2275 m/s

Atsakymas

v_max = 0,2275 m/s

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,506

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·2) = 632,5 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 320/632,5 = 0,506

Atsakymas

ζ = 0,506

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 8,507 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/40 → k_eq = 100·40/(100 + 40) = 28,57 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(28571/10) = 53,45 rad/s

f_n = 53,45/(2π) = 8,507 Hz

Atsakymas

f_n = 8,507 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics