Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 240 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 1700 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 240 km/hs = 1700 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 10 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 24 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kada kamuoliai susitinka? Raskite t.

H = 10 mv_0B = 24 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

10 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 10 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

9 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 9 kgm₂ = 4 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 55° kampu virš horizontalės ir nukrinta 65 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 55°R = 65 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 17 m/s greičiu 25° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 5 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiu kampu α žemiau horizontalės jis atsitrenkia į žemę?

v₀ = 17 m/sθ = 25°h = 5 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 135 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 135 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

210 m spindulio posūkis turi 25° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią greitį v_min, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas žemyn šlaitu.

r = 210 mθ = 25°μ_s = 0,25g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,4. Raskite jo greitį v, nuslydus 18 m nuokalne.

θ = 45°μ = 0,4d = 18 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

4 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,3). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 3 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 2,5 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgμ = 0,3d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

7 kg sviedinys, horizontaliai judantis 36 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 6 kg skeveldra toliau juda pirmyn 47 m/s greičiu. Raskite 1 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 7 kgu = 36 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 47 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 18 m/s greičiu važiuojantis 1100 kg automobilis susiduria su į šiaurę 22 m/s greičiu važiuojančiu 1800 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų greitį v′ iškart po susidūrimo.

m₁ = 1100 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 22 m/s (N)

v′ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 7,5 kg masės ir 1,6 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir paleidžiamas iš rimties horizontalioje padėtyje. Trinties nepaisykite ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite laisvojo galo greitį v, kai strypas praeina vertikalią padėtį.

m = 7,5 kgL = 1,6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

plonas lankas be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 35° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią statinės trinties koeficientą μ_s, kuriam esant jis neslysta.

θ = 35°I = m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 150 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1500 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 500 N, laisvosios – 100 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 500 NT₂ = 100 N

P = kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 125 mm ir 450 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 1200 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 125 mmd₂ = 450 mmC = 1200 mm

θ = °

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 0,9 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 0,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 100 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 20 cm amplitude. Raskite jo kinetinę energiją K, kai jis yra 17 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 100 N/mA = 20 cmx = 17 cm

K = J

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 50 mm poslinkio amplitudės po vieno ciklo seka 23,4 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 50 mmx₁ = 23,4 mmn = 1

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 5 kN/m, apatinės k₂ = 30 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 1,307 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v = 240/3,6 = 66,67 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 66,67²/(2·1700) = 1,307 m/s²

Atsakymas

a = 1,307 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: t = 0,4167 s

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

10 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 10/24 = 0,4167 s

Atsakymas

t = 0,4167 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,812 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 25° − 0,15·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1359) = 2,812 m/s²

Atsakymas

a = 2,812 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 33,96 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 22,07)/13 = 1,321 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·1,321 + 22,07 = 33,96 N

Atsakymas

T = 33,96 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 26,05 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·65/sin 110°) = 26,05 m/s

Atsakymas

v₀ = 26,05 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: α = 38,46 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 17·cos 25° = 15,41 m/s

v_y0 = 17·sin 25° = 7,185 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(7,185² + 2·9,81·5) = 12,24 m/s

Atsitrenkimo kampas

tan α = v_y/v_x = 12,24/15,41 → α = 38,46°

Atsakymas

α = 38,46°

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 25,73 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·135) = 25,73 m/s

Atsakymas

v_max = 25,73 m/s (92,64 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 19,98 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta aukštyn šlaitu.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(210·9,81·0,196/1,012) = 19,98 m/s

Atsakymas

v_min = 19,98 m/s

(71,92 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 12,24 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·18·(0,7071 − 0,4·0,7071)) = 12,24 m/s

Atsakymas

v = 12,24 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 3,551 m/s

Išsiskyrusi ir prarasta energija

m₂g·d = 29,43·2,5 = 73,58 J

μ·m₁g·d = 0,3·39,24·2,5 = 29,43 J

Abiejų kaladėlių kinetinė energija

½(m₁ + m₂)v² = 44,15 → v = √(2·44,15/7) = 3,551 m/s

Atsakymas

v = 3,551 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = −30 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 7·36 = 252 kg·m/s

Judesio kiekis po

252 = 6·47 + 1·v′₂

v′₂ = (252 − 282)/1 = −30 m/s

Atsakymas

v′₂ = −30 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad antroji skeveldra lekia atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′ = 15,27 m/s

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1100·18 = 19800 kg·m/s

p_y = 1800·22 = 39600 kg·m/s

Nuolaužų greitis

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 44274/2900 = 15,27 m/s

Atsakymas

v′ = 15,27 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 6,862 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Potencinės energijos sumažėjimas

m·g·L/2 = 7,5·9,81·0,8 = 58,86 J

Inercijos momentas šarnyro atžvilgiu

I_O = m·L²/3 = 7,5·1,6²/3 = 6,4 kg·m²

Energijos balansas

½·I_O·ω² = 58,86 → ω = √(2·58,86/6,4) = 4,289 rad/s

v = ω·L = 4,289·1,6 = 6,862 m/s

Atsakymas

v = 6,862 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: μ_s = 0,3501

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 35°/2 = 2,813 m/s²

Reikalinga trintis

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 35°/2 = 0,3501

Atsakymas

μ_s = 0,3501

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 4,712 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 11,78 m/s

Galia

P = (500 − 100)·11,78 = 4712 W = 4,712 kW

Atsakymas

P = 4,712 kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 164,4 °

Diržo kampas

asin(0,1354) = 7,783°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·7,783 = 164,4°

Atsakymas

θ = 164,4°

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,2013 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,9/2π)² = 0,2013 m

Atsakymas

L = 0,2013 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: K = 0,555 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·100·0,2² = 2 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·100·0,17² = 1,445 J

Kinetinė energija

K = 2 − 1,445 = 0,555 J

Atsakymas

K = 0,555 J

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,12

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/1)·ln(50/23,4) = 0,7593

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7593/√(39,48 + 0,5765) = 0,12

Atsakymas

ζ = 0,12

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 4,286 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/30 → k_eq = 5·30/(5 + 30) = 4,286 kN/m

Atsakymas

k_eq = 4,286 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics