Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

50 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 7,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 50 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 10 m/s greičiu nuo stogo, esančio 30 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 10 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

45 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 30° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 45 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

10 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 6 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 30 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo 30 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 24 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 0,8 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 50° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rutuliuko greitį v.

L = 0,8 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

170 m spindulio posūkis turi 8° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 170 mθ = 8°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

1500 kg automobilis važiuoja į 8° šlaitą pastoviu 72 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 350 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1500 kgθ = 8°F_r = 350 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

15° šlaito apačioje esanti 5000 N/m standumo spyruoklė suspaudžiama 8 cm prie 1 kg kaladėlės ir atleidžiama. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir šlaito koeficientas 0,25. Kokį atstumą d aukštyn šlaitu nuo paleidimo taško kaladėlė nuslenka, kol sustoja? (Nepaisykite trumpo atstumo, kuriame stumia spyruoklė, t. y. trintį ir sunkio jėgą imkite visame atstume d.)

m = 1 kgk = 5000 N/mx = 8 cmθ = 15°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

15 g kulka horizontaliai įšaunama į 1 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 19 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 15 gM = 1 kgh = 19 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,2 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 23 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 4 m/s greičiu. Sąlytis trunka 5 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,2 kgv_in = 23 m/sv_out = 4 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Variklis duoda 450 N·m sukimo momentą esant 2700 rpm. Raskite jo išėjimo galią P kW.

T = 450 N·mn = 2700 rpm

P = kW

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

plonas lankas be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 35° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jis pradeda iš rimties. Per kiek laiko t jis nurieda 3,5 m nuožulnia plokštuma?

θ = 35°I = m·r²g = 9,81 m/s²s = 3,5 m

t = s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

3 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 18; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 24. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 95 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 3 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 18N₂ = 24η = 95%

T₂ = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (20 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 3000 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (25 dantų). Krumpliaratis C (18 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (25 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 3000 rpmA = 20B = 25C = 18D = 25

n_out = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 1 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 1 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,9 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 150 N/m, atitraukiamas 11 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 2,9 kgk = 150 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 25 mm poslinkio amplitudės po vieno ciklo seka 11,7 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 25 mmx₁ = 11,7 mmn = 1

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 50 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 12 kN/m ir k₂ = 30 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 1,852 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/7,5 = 1,852 s

Atsakymas

t = 1,852 s

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 35,1 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9,81) = 5,097 m

Aukštis virš žemės

h_max = 30 + 5,097 = 35,1 m

Atsakymas

h_max = 35,1 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 259 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 220,7 + 38,23 = 259 N

Atsakymas

F = 259 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,453 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 19,62)/16 = 2,453 m/s²

Atsakymas

a = 2,453 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 58,97 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 20° = 28,19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 20° = 10,26 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·10,26/9,81 = 2,092 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 28,19·2,092 = 58,97 m

Atsakymas

x = 58,97 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 77,75 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 20° = 22,55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 20° = 8,208 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 30 + 8,208·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,208 + √(67,38 + 588,6))/9,81 = 3,448 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 22,55·3,448 = 77,75 m

Atsakymas

x = 77,75 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 2,677 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 0,8·sin 50° = 0,6128 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,6128·9,81·tan 50°) = 2,677 m/s

Atsakymas

v = 2,677 m/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 30,91 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(170·9,81·0,5353/0,9346) = 30,91 m/s

Atsakymas

v_max = 30,91 m/s

(111,3 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 47,96 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 8° = 2048 N

F = 2048 + 350 = 2398 N

Galia

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 2398·20 = 47959 W = 47,96 kW

Atsakymas

P = 47,96 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 3,26 m

Spyruoklės energija

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·5000·0,08² = 16 J

Energijos balansas nuokalne

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 16/(9,81·(0,2588 + 0,25·0,9659)) = 3,26 m

Atsakymas

d = 3,26 m

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 130,6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,19) = 1,931 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 1)·1,931/0,015 = 130,6 m/s

Atsakymas

v = 130,6 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 5,4 N·s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,2·(4 + 23) = 5,4 N·s

Atsakymas

J = 5,4 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: P = 127,2 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·2700/60 = 282,7 rad/s

Galia

P = T·ω = 450·282,7 = 127235 W = 127,2 kW

Atsakymas

P = 127,2 kW

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: t = 1,577 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 35°/2 = 2,813 m/s²

Laikas

s = ½·a·t² → t = √(2·3,5/2,813) = 1,577 s

Atsakymas

t = 1,577 s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 12,51 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/303,7 = 9,879 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 9,879·24/18·0,95 = 12,51 N·m

Atsakymas

T₂ = 12,51 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 1728 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 3000·20/25 = 2400 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 2400·18/25 = 1728 rpm

Atsakymas

n_out = 1728 rpm

bendras perdavimo skaičius = 1,736 : 1

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,006 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(1/9,81) = 2,006 s

Atsakymas

T = 2,006 s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 5,69 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(150/2,9) = 7,192 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,11·7,192² = 5,69 m/s²

Atsakymas

a_max = 5,69 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,12

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/1)·ln(25/11,7) = 0,7593

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7593/√(39,48 + 0,5765) = 0,12

Atsakymas

ζ = 0,12

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,802 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 12 + 30 = 42 kN/m

k_eq = 42·50/(42 + 50) = 22,83 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(22826/40) = 23,89 rad/s

f_n = 23,89/(2π) = 3,802 Hz

Atsakymas

f_n = 3,802 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics