Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

54 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 7,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 54 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 5 s greitėja 2 m/s² pagreičiu, tada 7 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 2 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 5 st₂ = 7 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

40 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 25° kampą virš horizontalės, 140 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 40 kgF = 140 Nθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

6 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 6 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 10 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 10 m/s greičiu 45° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 55 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiu kampu α žemiau horizontalės jis atsitrenkia į žemę?

v₀ = 10 m/sθ = 45°h = 55 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

270 m spindulio posūkis turi 12° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 270 mθ = 12°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Mažas vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas bėgiu be trinties ir įvažiuoja į vertikalią 10 m spindulio kilpą. Iš kokio mažiausio aukščio h_min virš kilpos apačios jis turi pradėti, kad kilpos viršuje neatitrūktų nuo bėgio?

R = 10 mv₀ = 0

h_min = m

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 2000 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,25 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 10 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,25 kgk = 2000 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

8 kg kaladėlė iš rimties būsenos 30° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 85 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 9 m aukštyn šlaitu.

m = 8 kgF = 85 Nθ = 30°μ = 0,3d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

5 kg vežimėlis, judantis 2 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 3,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,55 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 16 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 18 m/s greičiu. Sąlytis trunka 25 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,55 kgv_in = 16 m/sv_out = 18 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Velenas perduoda 63,5 kW galią esant 2000 rpm. Raskite sukimo momentą T velene.

P = 63,5 kWn = 2000 rpm

T = N·m

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas cilindras be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 40° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jis pradeda iš rimties. Per kiek laiko t jis nurieda 4,5 m nuožulnia plokštuma?

θ = 40°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²s = 4,5 m

t = s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

120 mm skriemulys sukasi 960 rpm ir diržu suka 315 mm skriemulį, slydimas 3 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 960 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 3 %

n₂ = rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 15 dantų, o kiekvienas satelitas – 30 dantų. Vainikinis krumpliaratis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 900 rpm greičiu. Raskite vedžiklio sukimosi greitį n_c.

N_s = 15N_p = 30n_s = 900 rpm

n_c = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 0,9 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 0,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Kūnas atlieka harmoninius svyravimus, kurių periodas 1,8 s, o amplitudė 17 cm. Per kokį trumpiausią laiką t jis nuo didžiausio 17 cm poslinkio pasislenka iki 11,9 cm poslinkio?

T = 1,8 sA = 17 cmx = 11,9 cm

t = s

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

8 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 4 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 140 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 8 kgk = 4 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 30 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 40 kN/m ir k₂ = 50 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 15 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·7,5) = 15 m

Atsakymas

s = 15 m

2.Kinematika

Atsakymas: s = 120 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 2·5 = 10 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·2·5² = 25 m

s₂ = 10·7 = 70 m

s₃ = 10²/(2·2) = 25 m

Visas atstumas

s = 25 + 70 + 25 = 120 m

Atsakymas

s = 120 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 0,6728 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 140·sin 25° = 333,2 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 126,9 − 99,97

a = 26,91/40 = 0,6728 m/s²

Atsakymas

a = 0,6728 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,523 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 17,66)/10,5 = 2,523 m/s²

Atsakymas

a = 2,523 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 0,5962 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 20° = 9,397 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 20° = 3,42 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 3,42²/(2·9,81) = 0,5962 m

Atsakymas

H = 0,5962 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: α = 78,12 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 10·cos 45° = 7,071 m/s

v_y0 = 10·sin 45° = 7,071 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(7,071² + 2·9,81·55) = 33,6 m/s

Atsitrenkimo kampas

tan α = v_y/v_x = 33,6/7,071 → α = 78,12°

Atsakymas

α = 78,12°

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 23,73 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(270·9,81·tan 12°) = 23,73 m/s

Atsakymas

v = 23,73 m/s

(85,42 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: h_min = 25 m

Sąlyga viršuje

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Energijos tvermė

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·10 = 25 m

Atsakymas

h_min = 25 m

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 4,077 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·2000·0,1² = 10 J

Aukštis

m·g = 0,25·9,81 = 2,453 N

h = ½kx²/(mg) = 10/2,453 = 4,077 m

Atsakymas

h = 4,077 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 7,555 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 39,24 N

μ·mg·cos θ = 20,39 N

Darbas ir energija

½mv² = (85 − 59,63)·9 = 228,3 J

v = √(2·228,3/8) = 7,555 m/s

Atsakymas

v = 7,555 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 2,353 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (5 − 3,5)/(5 + 3,5)·2 = 0,3529 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 3,5)·2 = 2,353 m/s

Atsakymas

v′₂ = 2,353 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 18,7 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,55·(18 + 16) = 18,7 N·s

Atsakymas

J = 18,7 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: T = 303,2 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·2000/60 = 209,4 rad/s

Sukimo momentas

T = P/ω = 63500/209,4 = 303,2 N·m

Atsakymas

T = 303,2 N·m

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: t = 1,463 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 40°/1,5 = 4,204 m/s²

Laikas

s = ½·a·t² → t = √(2·4,5/4,204) = 1,463 s

Atsakymas

t = 1,463 s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 354,7 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

960·120/315 = 365,7 rpm

Su slydimu

n₂ = 365,7·0,97 = 354,7 rpm

Atsakymas

n₂ = 354,7 rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_c = 150 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·30 = 75

Viliso lygtis, kai vainikas nejudamas

Imkite n_r = 0 ir raskite vedžiklio greitį.

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −75/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·15/90 = 150 rpm

Atsakymas

n_c = 150 rpm

Vedžiklis sukasi ta pačia kryptimi kaip saulės krumpliaratis.

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,2013 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,9/2π)² = 0,2013 m

Atsakymas

L = 0,2013 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: t = 0,2279 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = 2π/T = 2π/1,8 = 3,491 rad/s

Išreiškite laiką

0,7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,7) = 0,7954 rad

t = 0,7954/3,491 = 0,2279 s

Atsakymas

t = 0,2279 s

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,3913

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·8) = 357,8 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 140/357,8 = 0,3913

Atsakymas

ζ = 0,3913

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 4,775 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 40 + 50 = 90 kN/m

k_eq = 90·30/(90 + 30) = 22,5 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(22500/25) = 30 rad/s

f_n = 30/(2π) = 4,775 Hz

Atsakymas

f_n = 4,775 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics