Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

72 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 6 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 72 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 6 m/s greičiu nuo stogo, esančio 5 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 6 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

8 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 8 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

5,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 55° kampu virš horizontalės ir nukrinta 115 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 55°R = 115 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 35 m/s greičiu 65° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 25 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 35 m/sθ = 65°h = 25 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 2,6 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią kampinį greitį ω rad/s.

r = 2,6 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

80 m spindulio posūkis turi 10° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 80 mθ = 10°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

1000 kg automobilis važiuoja į 2° šlaitą pastoviu 90 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 500 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1000 kgθ = 2°F_r = 500 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,15). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 2 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 2,5 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 2 kgμ = 0,15d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

4 kg vežimėlis, judantis 10 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 19 m/s greičiu važiuojantis 1000 kg automobilis susiduria su į šiaurę 23 m/s greičiu važiuojančiu 900 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų judėjimo kryptį θ iškart po susidūrimo, matuojant nuo rytų krypties į šiaurę.

m₁ = 1000 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 23 m/s (N)

θ = °

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Smagratis, kurio inercijos momentas 11,5 kg·m², sukasi 2700 rpm. Stabdys sukuria pastovų trinties momentą 95 N·m. Kiek apsisukimų N padaro smagratis, kol sustoja?

I = 11,5 kg·m²n = 2700 rpmT_b = 95 N·m

N = rev

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas rutulys be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 35° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią statinės trinties koeficientą μ_s, kuriam esant jis neslysta.

θ = 35°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 100 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 720 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 1500 N, laisvosios – 300 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 100 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 300 N

P = kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1440 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (60 dantų). Krumpliaratis C (20 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 150 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 1440 rpmA = 15B = 60C = 20n_out = 150 rpm

N_D =

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

2,1 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 100 N/m, atitraukiamas 10 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 0,9 s (su ženklu).

m = 2,1 kgk = 100 N/mA = 10 cmt = 0,9 s

x = cm

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,8 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 160 N/m, atitraukiamas 8 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 2,8 kgk = 160 N/mA = 8 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

25 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 8 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,5. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 25 kgk = 8 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 10 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 3,333 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/6 = 3,333 s

Atsakymas

t = 3,333 s

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 6,835 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

Aukštis virš žemės

h_max = 5 + 1,835 = 6,835 m

Atsakymas

h_max = 6,835 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,781 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 30° − 0,25·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2165) = 2,781 m/s²

Atsakymas

a = 2,781 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 26,71 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 5,396)/10 = 3,875 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5,5·3,875 + 5,396 = 26,71 N

Atsakymas

T = 26,71 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 34,65 m/s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·115/sin 110°) = 34,65 m/s

Atsakymas

v₀ = 34,65 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 76,28 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 35·sin 65° = 31,72 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 31,72²/(2·9,81) = 51,28 m

Aukštis virš žemės

H = 25 + 51,28 = 76,28 m

Atsakymas

H = 76,28 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: ω = 2,172 rad/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·2,6)) = 2,172 rad/s

Atsakymas

ω = 2,172 rad/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 16,22 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(80·9,81·0,3214/0,9588) = 16,22 m/s

Atsakymas

v_max = 16,22 m/s

(58,39 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 21,06 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 2° = 342,4 N

F = 342,4 + 500 = 842,4 N

Galia

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 842,4·25 = 21059 W = 21,06 kW

Atsakymas

P = 21,06 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,566 m/s

Išsiskyrusi ir prarasta energija

m₂g·d = 19,62·2,5 = 49,05 J

μ·m₁g·d = 0,15·19,62·2,5 = 7,357 J

Abiejų kaladėlių kinetinė energija

½(m₁ + m₂)v² = 41,69 → v = √(2·41,69/4) = 4,566 m/s

Atsakymas

v = 4,566 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = −1,111 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·10 = −1,111 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·10 = 8,889 m/s

Atsakymas

v′₁ = −1,111 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad pirmasis vežimėlis atšoka atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: θ = 47,45 °

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1000·19 = 19000 kg·m/s

p_y = 900·23 = 20700 kg·m/s

Kryptis

tan θ = p_y/p_x = 1,089 → θ = 47,45°

Atsakymas

θ = 47,45°

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: N = 770,1 rev

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·2700/60 = 282,7 rad/s

Stabdžio darbas lygus kinetinei energijai

½·I·ω² = ½·11,5·282,7² = 459677 J

θ = 459677/95 = 4839 rad

Apsisukimai

N = θ/2π = 770,1 rev

Atsakymas

N = 770,1 rev

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: μ_s = 0,2001

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 35°/1,4 = 4,019 m/s²

Reikalinga trintis

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,4·tan 35°/1,4 = 0,2001

Atsakymas

μ_s = 0,2001

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 4,524 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 3,77 m/s

Galia

P = (1500 − 300)·3,77 = 4524 W = 4,524 kW

Atsakymas

P = 4,524 kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 48

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 1440·15/60 = 360 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 20·360/150 = 48

Atsakymas

N_D = 48

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = 9,974 cm

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(100/2,1) = 6,901 rad/s

ω·t = 6,901·0,9 = 6,211 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 10·cos(6,211) = 9,974 cm

Atsakymas

x = 9,974 cm

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 4,571 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(160/2,8) = 7,559 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,08·7,559² = 4,571 m/s²

Atsakymas

a_max = 4,571 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 2,466 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(8000/25) = 17,89 rad/s

f_n = 17,89/(2π) = 2,847 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,847·√(1 − 0,5²) = 2,466 Hz

Atsakymas

f_d = 2,466 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 8,346 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 10 = 110 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(110000/40) = 52,44 rad/s

f_n = 52,44/(2π) = 8,346 Hz

Atsakymas

f_n = 8,346 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics