Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

36 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 7,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 36 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 8 m/s greičiu nuo stogo, esančio 30 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 8 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

10 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 35° kampą virš horizontalės, 30 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 10 kgF = 30 Nθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

4 kg kaladėlė ant 25° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 7,5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 4 kgm₂ = 7,5 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 75° kampu virš horizontalės ir nukrinta 125 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 75°R = 125 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 29 m/s greičiu 45° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 35 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 29 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1,5 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 45° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rutuliuko greitį v.

L = 1,5 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,2 kg rutuliukas ant 0,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 5,5 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,2 kgr = 0,5 mv = 5,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

2 kg rutuliukas kabo ant lengvo 2 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 50° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 2 kgL = 2 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 1,5 m ilgio juostą (μ = 0,25) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 2 kgh = 3,5 mL = 1,5 mμ = 0,25k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

5 kg vežimėlis, judantis 2 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 2 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,15 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 27 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 13 m/s greičiu. Sąlytis trunka 50 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,15 kgv_in = 27 m/sv_out = 13 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

1 kg masės blokas kabo ant lengvos virvės, apvyniotos ant skriemulio – vienalyčio vientiso 10,5 kg masės ir 0,1 m spindulio disko, besisukančio ant besitrinties horizontaliosios ašies. Blokas paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite bloko pagreitį a.

m = 1 kgM = 10,5 kgR = 0,1 mg = 9,81 m/s²

a = m/s²

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis plonas 7 kg masės ir 0,6 m ilgio strypas ramiai kabo ant besitrinties šarnyro viršutiniame gale. 20 g masės kulka, horizontaliai lekianti 580 m/s greičiu, pataiko į strypą 0,34 m žemiau šarnyro ir įstringa. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią kampą φ nuo vertikalės, per kurį strypas pasisuka.

M = 7 kgL = 0,6 mm = 20 gv = 580 m/sd = 0,34 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Sliekas (pradų skaičius 1) sukasi 960 rpm greičiu ir suka sliekratį su 48 dantų. Raskite sliekračio sukimosi greitį n_w.

z = 1N_w = 48n = 960 rpm

n_w = rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

2,2 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (12 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (16 dantų). Krumpliaratis C (32 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (72 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 95%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 2,2 kWn_in = 1450 rpmA = 12B = 16C = 32D = 72η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 2 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 2 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,7 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 310 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią krovinio greitį v_max.

m = 1,7 kgk = 310 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

10 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 2 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,45. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 10 kgk = 2 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 60 kN/m, apatinės k₂ = 5 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 6,667 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·7,5) = 6,667 m

Atsakymas

s = 6,667 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 33,26 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9,81) = 3,262 m

Aukštis virš žemės

h_max = 30 + 3,262 = 33,26 m

Atsakymas

h_max = 33,26 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 0,4351 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 98,1 − 30·sin 35° = 80,89 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 24,57 − 20,22

a = 4,351/10 = 0,4351 m/s²

Atsakymas

a = 0,4351 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 39,89 N

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 73,58 N

m₁·g·sin θ = 16,58 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,335 N

Sistemos pagreitis

a = (73,58 − 16,58 − 5,335)/11,5 = 4,492 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 7,5·(9,81 − 4,492) = 39,89 N

Atsakymas

T = 39,89 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 49,52 m/s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·125/sin 150°) = 49,52 m/s

Atsakymas

v₀ = 49,52 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 56,43 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 29·sin 45° = 20,51 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 20,51²/(2·9,81) = 21,43 m

Aukštis virš žemės

H = 35 + 21,43 = 56,43 m

Atsakymas

H = 56,43 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 3,226 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1,5·sin 45° = 1,061 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,061·9,81·tan 45°) = 3,226 m/s

Atsakymas

v = 3,226 m/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 84,37 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,2·9,81 + 1,2·5,5²/0,5 = 11,77 + 72,6 = 84,37 N

Atsakymas

T = 84,37 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 33,64 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 50°) = 14,02 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·14,02/2 = 33,64 N

Atsakymas

T = 33,64 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 33,64 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 49,52 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 19,62·(3,5 − 0,25·1,5) = 61,31 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 61,31 → x = √(2·61,31/500) = 0,4952 m = 49,52 cm

Atsakymas

x = 49,52 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 0,8571 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (5 − 2)/(5 + 2)·2 = 0,8571 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 2)·2 = 2,857 m/s

Atsakymas

v′₁ = 0,8571 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 120 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,15·(13 + 27) = 6 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 6/0,05 = 120 N

Atsakymas

F_avg = 120 N

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: a = 1,57 m/s²

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Blokas ir skriemulys

kaladėlė: m·g − T = m·a

skriemulys: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Pagreitis

a = m·g/(m + M/2) = 1·9,81/(1 + 5,25) = 1,57 m/s²

Atsakymas

a = 1,57 m/s²

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: φ = 56,41 °

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentas po smūgio

I = M·L²/3 + m·d² = 7·0,6²/3 + 0,02·0,34² = 0,8423 kg·m²

Judesio kiekio momentas šarnyro atžvilgiu

Šarnyro jėga eina per šarnyrą, todėl smūgio metu ten momento neturi.

m·v·d = I·ω → ω = 0,02·580·0,34/0,8423 = 4,682 rad/s

Energija svyravimo metu

½·I·ω² = ½·0,8423·4,682² = 9,234 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 20,67·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 9,234/20,67 = 0,5532 → φ = 56,41°

Atsakymas

φ = 56,41°

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_w = 20 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 960·1/48 = 20 rpm

Atsakymas

n_w = 20 rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 39,23 N·m

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 1450·(12/16)·(32/72) = 483,3 rpm

ω_out = 2π·483,3/60 = 50,61 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 2200·0,95² = 1986 W

T_out = P_out/ω_out = 1986/50,61 = 39,23 N·m

Atsakymas

T_out = 39,23 N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,994 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2/2π)² = 0,994 m

Atsakymas

L = 0,994 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,7265 m/s

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 1,7·9,81/310 = 0,0538 m = A

Didžiausias greitis

Greitis didžiausias pusiausvyros padėtyje.

ω = √(310/1,7) = 13,5 rad/s

v_max = A·ω = 0,0538·13,5 = 0,7265 m/s

Atsakymas

v_max = 0,7265 m/s

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 2,01 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(2000/10) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,45²) = 2,01 Hz

Atsakymas

f_d = 2,01 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 4,615 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/5 → k_eq = 60·5/(60 + 5) = 4,615 kN/m

Atsakymas

k_eq = 4,615 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics