Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

108 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 3,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 108 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 7 s greitėja 1,5 m/s² pagreičiu, tada 13 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 3 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą kelionės trukmę t.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 13 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

7 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 7 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

8 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 2,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 8 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 65° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 36 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 45° kampu į horizontą nuo 10 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 14 m/sθ = 45°h = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

130 m spindulio posūkis turi 8° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 130 mθ = 8°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,3 kg rutuliukas ant lengvo 1,1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 10 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 0,3 kgr = 1,1 mv_bottom = 10 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

1800 kg automobilis važiuoja į 6° šlaitą pastoviu 90 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 550 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1800 kgθ = 6°F_r = 550 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3 m ilgio juostą (μ = 0,2) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 10 kgh = 5 mL = 3 mμ = 0,2k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

2,5 kg vežimėlis, judantis 5 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,55 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 26 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 5 m/s greičiu. Sąlytis trunka 40 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,55 kgv_in = 26 m/sv_out = 5 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Variklis smagratį, kurio inercijos momentas 7 kg·m², per 23 s iš rimties išsuka iki 2300 rpm. Nepaisydami nuostolių, raskite vidutinę jo tiekiamą galią P_avg kW.

I = 7 kg·m²n = 2300 rpmt = 23 s

P_avg = kW

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis vientisas diskas (masė 16 kg, spindulys 0,45 m) laisvai sukasi 850 rpm apie vertikalų besitrinantį velenėlį be trinties. Plonas 8 kg masės to paties spindulio žiedas numetamas ant jo iš rimties, centruotas veleno atžvilgiu, ir abu greitai susisuka kartu. Kiek kinetinės energijos ΔE prarandama proceso metu?

M_disc = 16 kgM_ring = 8 kgR = 0,45 mn₁ = 850 rpm

ΔE = J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

0,75 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 20; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 72. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 97 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 0,75 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 20N₂ = 72η = 97%

T₂ = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 20 dantų, o kiekvienas satelitas – 15 dantų. Vedžiklis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 900 rpm greičiu. Raskite vainikinio krumpliaračio sukimosi greitį n_r (didumą).

N_s = 20N_p = 15n_s = 900 rpm

n_r = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 2,1 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 2,1 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,1 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 480 N/m, atitraukiamas 6 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 1,1 kgk = 480 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

10 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 200 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,4. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 10 kgk = 200 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 12 kN/m, apatinės k₂ = 25 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 128,6 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·3,5) = 128,6 m

Atsakymas

s = 128,6 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 23,5 s

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 1,5·7 = 10,5 m/s

Stabdymo trukmė

t₃ = v/a₃ = 10,5/3 = 3,5 s

Bendra trukmė

t = 7 + 13 + 3,5 = 23,5 s

Atsakymas

t = 23,5 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,179 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 40° − 0,15·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1149) = 5,179 m/s²

Atsakymas

a = 5,179 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 0,4671 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 19,62)/10,5 = 0,4671 m/s²

Atsakymas

a = 0,4671 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 6,652 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 65° = 15,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 65° = 32,63 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·32,63/9,81 = 6,652 s

Atsakymas

t = 6,652 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 27,3 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9,899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9,899 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 10 + 9,899·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,899 + √(98 + 196,2))/9,81 = 2,758 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 9,899·2,758 = 27,3 m

Atsakymas

x = 27,3 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 13,39 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(130·9,81·tan 8°) = 13,39 m/s

Atsakymas

v = 13,39 m/s

(48,2 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 12,56 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 10² − 4·9,81·1,1 = 56,84 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,3·56,84/1,1 − 0,3·9,81 = 12,56 N

Atsakymas

T_top = 12,56 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 59,89 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1800·9,81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 6° = 1846 N

F = 1846 + 550 = 2396 N

Galia

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 2396·25 = 59894 W = 59,89 kW

Atsakymas

P = 59,89 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 75,86 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 98,1·(5 − 0,2·3) = 431,6 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 431,6 → x = √(2·431,6/1500) = 0,7586 m = 75,86 cm

Atsakymas

x = 75,86 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 3,333 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (2,5 − 5)/(2,5 + 5)·5 = −1,667 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 5)·5 = 3,333 m/s

Atsakymas

v′₂ = 3,333 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 17,05 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,55·(5 + 26) = 17,05 N·s

Atsakymas

J = 17,05 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: P_avg = 8,828 kW

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·2300/60 = 240,9 rad/s

Energija

E = ½·I·ω² = ½·7·240,9² = 203040 J

Vidutinė galia

P_avg = E/t = 203040/23 = 8828 W = 8,828 kW

Atsakymas

P_avg = 8,828 kW

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ΔE = 3209 J

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentai

I₁ = ½·16·0,45² = 1,62 kg·m²

I₂ = 8·0,45² = 1,62 kg·m²

Judesio kiekio momento tvermė

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 850·1,62/3,24 = 425 rpm

Kinetinė energija prieš ir po

E₁ = ½·1,62·89,01² = 6418 J

E₂ = ½·3,24·44,51² = 3209 J

ΔE = 6418 − 3209 = 3209 J

Atsakymas

ΔE = 3209 J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 16,67 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/157,1 = 4,775 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 4,775·72/20·0,97 = 16,67 N·m

Atsakymas

T₂ = 16,67 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_r = 360 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·15 = 50

Viliso lygtis, kai vedžiklis nejudamas

Kai n_c = 0, saulės krumpliaratis per satelitus suka vainiką, o satelitai veikia kaip tarpiniai krumpliaračiai.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·20/50 = −360 rpm

|n_r| = 360 rpm

Atsakymas

n_r = 360 rpm

Vainikas sukasi priešinga kryptimi nei saulės krumpliaratis.

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 1,096 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,1/2π)² = 1,096 m

Atsakymas

L = 1,096 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 26,18 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(480/1,1) = 20,89 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,06·20,89² = 26,18 m/s²

Atsakymas

a_max = 26,18 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 20,63 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(200000/10) = 141,4 rad/s

f_n = 141,4/(2π) = 22,51 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 22,51·√(1 − 0,4²) = 20,63 Hz

Atsakymas

f_d = 20,63 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 8,108 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/25 → k_eq = 12·25/(12 + 25) = 8,108 kN/m

Atsakymas

k_eq = 8,108 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics