Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

90 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 1,3 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 4,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 90 km/ht_r = 1,3 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 13 m/s greičiu nuo stogo, esančio 35 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 13 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

35 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 40° kampą virš horizontalės, 130 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 35 kgF = 130 Nθ = 40°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

4 kg kaladėlė ant 30° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Rampa be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 50° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 16 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 60° kampu į horizontą nuo 55 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 32 m/sθ = 60°h = 55 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 120 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 120 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

40 m spindulio posūkis turi 8° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 40 mθ = 8°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

2 kg kūnas nuslysta 9 m nuokalne, pasvirusia 20° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,1. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 2 kgθ = 20°μ = 0,1d = 9 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 1 m ilgio juostą (μ = 0,2) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 2500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 10 kgh = 5 mL = 1 mμ = 0,2k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

3,5 kg vežimėlis, judantis 3 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1100 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 2000 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 13,5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1100 kgm₂ = 2000 kgd = 13,5 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 4,5 kg masės ir 1 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir laikomas horizontaliai. Jis paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite laisvojo galo pagreitį a_tip iškart po paleidimo.

m = 4,5 kgL = 1 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis vientisas diskas (masė 24 kg, spindulys 0,45 m) laisvai sukasi 350 rpm apie vertikalų besitrinantį velenėlį be trinties. Plonas 1 kg masės to paties spindulio žiedas numetamas ant jo iš rimties, centruotas veleno atžvilgiu, ir abu greitai susisuka kartu. Kiek kinetinės energijos ΔE prarandama proceso metu?

M_disc = 24 kgM_ring = 1 kgR = 0,45 mn₁ = 350 rpm

ΔE = J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

15 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 30 dantų, kurio modulis 3 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 15 kWn = 2900 rpmN₁ = 30m = 3 mm

F_t = N

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (12 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (36 dantų). Krumpliaratis C (50 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (60 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1450 rpmA = 12B = 36C = 50D = 60

n_out = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1,6 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 4,12 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 1,6 mT = 4,12 s

g = m/s²

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,5 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 450 N/m, atitraukiamas 18 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 2,5 kgk = 450 N/mA = 18 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

5 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 20 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 90 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 5 kgk = 20 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 15 kN/m, apatinės k₂ = 12 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 101,9 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 25·1,3 = 32,5 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·4,5) = 69,44 m

Iš viso

d = 32,5 + 69,44 = 101,9 m

Atsakymas

d = 101,9 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 4,307 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−35 = 13·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 13·t − 35 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (13 + √(13² + 2·9,81·35))/9,81 = 4,307 s

Atsakymas

t = 4,307 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 0,6186 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 130·sin 40° = 259,8 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 99,59 − 77,94

a = 21,65/35 = 0,6186 m/s²

Atsakymas

a = 0,6186 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,27 m/s²

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 49,05 N

m₁·g·sin θ = 19,62 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Sistemos pagreitis

a = (49,05 − 19,62 − 0)/9 = 3,27 m/s²

Atsakymas

a = 3,27 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 7,657 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 50° = 10,28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 50° = 12,26 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 12,26²/(2·9,81) = 7,657 m

Atsakymas

H = 7,657 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 7,206 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 60° = 16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 60° = 27,71 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 55 + 27,71·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27,71 + √(768 + 1079))/9,81 = 7,206 s

Atsakymas

t = 7,206 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 18,79 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·120) = 18,79 m/s

Atsakymas

v_max = 18,79 m/s (67,65 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 13,43 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(40·9,81·0,4363/0,9485) = 13,43 m/s

Atsakymas

v_max = 13,43 m/s

(48,36 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 16,59 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 19,62·0,9397 = 18,44 N

F = μN = 0,1·18,44 = 1,844 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 1,844·9 = 16,59 J

Atsakymas

W_f = 16,59 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 61,38 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 98,1·(5 − 0,2·1) = 470,9 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 470,9 → x = √(2·470,9/2500) = 0,6138 m = 61,38 cm

Atsakymas

x = 61,38 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 1,2 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (3,5 − 1,5)/(3,5 + 1,5)·3 = 1,2 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 1,5)·3 = 4,2 m/s

Atsakymas

v′₁ = 1,2 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 35,53 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·13,5) = 12,61 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·12,61/1100 = 35,53 m/s

Atsakymas

v₁ = 35,53 m/s

(127,9 km/h)

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: a_tip = 14,71 m/s²

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Momentai šarnyro atžvilgiu

Paleidimo momentu ω = 0, todėl įcentrinio pagreičio nėra ir centras greitėja tiesiai žemyn.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1) = 14,71 rad/s²

Laisvojo galo pagreitis

a_tip = α·L = 14,71·1 = 14,71 m/s²

Atsakymas

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g bet kokiam ilgiui: laisvasis galas krenta greičiau nei paleistas akmuo.

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ΔE = 125,6 J

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentai

I₁ = ½·24·0,45² = 2,43 kg·m²

I₂ = 1·0,45² = 0,2025 kg·m²

Judesio kiekio momento tvermė

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 350·2,43/2,633 = 323,1 rpm

Kinetinė energija prieš ir po

E₁ = ½·2,43·36,65² = 1632 J

E₂ = ½·2,633·33,83² = 1507 J

ΔE = 1632 − 1507 = 125,6 J

Atsakymas

ΔE = 125,6 J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 1098 N

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 15000/303,7 = 49,39 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 3·30 = 90 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·49,39/0,09 = 1098 N

Atsakymas

F_t = 1098 N

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 402,8 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 1450·12/36 = 483,3 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 483,3·50/60 = 402,8 rpm

Atsakymas

n_out = 402,8 rpm

bendras perdavimo skaičius = 3,6 : 1

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 3,721 m/s²

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,6/4,12² = 3,721 m/s²

Atsakymas

g = 3,721 m/s²

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 32,4 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(450/2,5) = 13,42 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,18·13,42² = 32,4 m/s²

Atsakymas

a_max = 32,4 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1423

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·5) = 632,5 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 90/632,5 = 0,1423

Atsakymas

ζ = 0,1423

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 6,667 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/12 → k_eq = 15·12/(15 + 12) = 6,667 kN/m

Atsakymas

k_eq = 6,667 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics