Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 300 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 1500 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 5 m/s greičiu nuo stogo, esančio 20 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

2 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

2 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 70° kampu virš horizontalės ir nukrinta 15 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 70°R = 15 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 30 m/s greičiu 55° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 5 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 30 m/sθ = 55°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 75 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 75 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

300 m spindulio posūkis turi 18° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 300 mθ = 18°μ_s = 0,25g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

10 kg kūnas nuslysta 9 m nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,4. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 10 kgθ = 40°μ = 0,4d = 9 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

0,5 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 6,5 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 2,5 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 0,5 kgh = 6,5 mR = 2,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1 kg vežimėlis, judantis 9 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 0,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 1 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 9 m/s greičiu važiuojantis 1600 kg automobilis susiduria su į šiaurę 20 m/s greičiu važiuojančiu 1100 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų judėjimo kryptį θ iškart po susidūrimo, matuojant nuo rytų krypties į šiaurę.

m₁ = 1600 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 20 m/s (N)

θ = °

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Smagratis, kurio inercijos momentas 15 kg·m², sukasi 600 rpm. Stabdys sukuria pastovų trinties momentą 85 N·m. Per kiek laiko t jis sustoja?

I = 15 kg·m²n = 600 rpmT_b = 85 N·m

t = s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas rutulys, kurio masė 14 kg, be slydimo rieda 9 m/s greičiu. Raskite jo sukimosi kinetinę energiją E_rot.

m = 14 kgv = 9 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

150 mm skriemulys sukasi 720 rpm ir diržu suka 315 mm skriemulį, slydimas 4 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 720 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 315 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 160 mm varantįjį skriemulį, sukamą 720 rpm, su 500 mm skriemuliu; ašys nutolusios 1000 mm. Trinties koeficientas yra 0,35, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 1500 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 160 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 500 mmC = 1000 mmμ = 0,35T₁ = 1500 N

P = kW

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

1,3 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 290 N/m, atitraukiamas 5 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 0,25 s (su ženklu).

m = 1,3 kgk = 290 N/mA = 5 cmt = 0,25 s

x = cm

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 410 N/m, atitraukiamas 7 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 2 kgk = 410 N/mA = 7 cm

E = J

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

40 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 10 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,3. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 40 kgk = 10 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 10 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 12 kN/m ir k₂ = 25 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 2,315 m/s²

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v = 300/3,6 = 83,33 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 83,33²/(2·1500) = 2,315 m/s²

Atsakymas

a = 2,315 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: t = 2,592 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−20 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 20 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·20))/9,81 = 2,592 s

Atsakymas

t = 2,592 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,781 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 30° − 0,25·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2165) = 2,781 m/s²

Atsakymas

a = 2,781 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 6,54 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 0)/6 = 6,54 m/s²

Atsakymas

a = 6,54 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 15,13 m/s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·15/sin 140°) = 15,13 m/s

Atsakymas

v₀ = 15,13 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 35,78 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 30·sin 55° = 24,57 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 24,57²/(2·9,81) = 30,78 m

Aukštis virš žemės

H = 5 + 30,78 = 35,78 m

Atsakymas

H = 35,78 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 24,26 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·75) = 24,26 m/s

Atsakymas

v_max = 24,26 m/s (87,34 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 42,91 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(300·9,81·0,5468/0,8738) = 42,91 m/s

Atsakymas

v_max = 42,91 m/s

(154,5 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 270,5 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 98,1·0,766 = 75,15 N

F = μN = 0,4·75,15 = 30,06 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 30,06·9 = 270,5 J

Atsakymas

W_f = 270,5 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 0,981 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(6,5 − 5) = 29,43 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·29,43/2,5 − 4,905 = 0,981 N

Atsakymas

N = 0,981 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 12 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (1 − 0,5)/(1 + 0,5)·9 = 3 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 0,5)·9 = 12 m/s

Atsakymas

v′₂ = 12 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: θ = 56,79 °

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1600·9 = 14400 kg·m/s

p_y = 1100·20 = 22000 kg·m/s

Kryptis

tan θ = p_y/p_x = 1,528 → θ = 56,79°

Atsakymas

θ = 56,79°

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: t = 11,09 s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

Lėtėjimas ir laikas

α = T_b/I = 85/15 = 5,667 rad/s²

t = ω/α = 62,83/5,667 = 11,09 s

Atsakymas

t = 11,09 s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: E_rot = 226,8 J

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Slenkamoji ir sukimosi dalys

E_trans = ½·m·v² = ½·14·9² = 567 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·567 = 226,8 J

Atsakymas

E_rot = 226,8 J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 329,1 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

720·150/315 = 342,9 rpm

Su slydimu

n₂ = 342,9·0,96 = 329,1 rpm

Atsakymas

n₂ = 329,1 rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 5,652 kW

Apkabos kampas

θ = 2,8 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,98 = 2,664, T₂ = 1500/2,664 = 563 N

Galia

P = (1500 − 563)·6,032 = 5,652 kW

Atsakymas

P = 5,652 kW

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = −4,148 cm

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(290/1,3) = 14,94 rad/s

ω·t = 14,94·0,25 = 3,734 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 5·cos(3,734) = −4,148 cm

Atsakymas

x = −4,148 cm

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 1,005 J

Kampinis dažnis

ω = √(410/2) = 14,32 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·410·0,07² = 1,005 J

Atsakymas

E = 1,005 J

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 2,401 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(10000/40) = 15,81 rad/s

f_n = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,516·√(1 − 0,3²) = 2,401 Hz

Atsakymas

f_d = 2,401 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 4,466 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 12 + 25 = 37 kN/m

k_eq = 37·10/(37 + 10) = 7,872 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(7872/10) = 28,06 rad/s

f_n = 28,06/(2π) = 4,466 Hz

Atsakymas

f_n = 4,466 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics